Segundo Parcial - Análisis Matemático I - 2008
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Segundo Parcial - Análisis Matemático I - 2008

Cátedra: Sede Drago
Fecha: 1º Cuatrimestre 2008

Sea $<tex>f(x) = 2x + cos(3x)</tex>$ . Hallar el polinomio de Taylor $<tex>P_4(x)</tex>$ de orden 4 de $<tex>f(x)</tex>$ en $<tex>x_0=0</tex>$ . Mediante la fórmula del resto, estimar el error que se comete al aproximar $<tex>f(\frac{1}{15})</tex>$ por $<tex>P_4(\frac{1}{15})</tex>$ .

Punto II

Hallar una función $<tex>f(x)</tex>$ continua y derivable tal que $<tex>3f^2(x)f'(x) - (3x-5)^2 ln(3x-5) = 0</tex>$ y $<tex>f(2)=-\frac{1}{3}</tex>$ .

Punto III

Calcular el área de la región comprendida entre el grafico de $<tex>f(x) = (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}</tex>$ y el de $<tex>g(x) = 2(x-3)</tex>$ .

Punto IV

Hallar todos los $<tex>x\,\in\,\mathbf{R}</tex>$ tales que la serie $<tex>\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(x-2)^n}{n^3+4}</tex>$ converge.

Resolución

Punto I

Nos piden hallar el polinomio de Taylor de orden 4 de $<tex>f(x) = 2x + cos(3x)</tex>$ , bueno empecemos a derivar la funcion $<tex>f(x)</tex>$ hasta su cuarta derivada

$<tex>f(x) = 2x + cos(3x)</tex>$ entonces $<tex>f(0) = 1</tex>$

$<tex>f'(x) = 2 - 3sen(3x)</tex>$ entonces $<tex>f'(0) = 2</tex>$

$<tex>f''(x) = 0 - 9cos(3x)</tex>$ entonces $<tex>f''(0) = -9</tex>$

$<tex>f'''(x) = 0 + 27sen(3x)</tex>$ entonces $<tex>f'''(0) = 0</tex>$

$<tex>f'^v(x) = 0 + 81cos(3x)</tex>$ entonces $<tex>f'^v(0) = 81</tex>$

Armemos el Polinomio de Taylor:

$<tex>P_4(x) = 1+2(x-0)+\frac{(-9)(x-0)^2}{2} + \frac{0(x-0)^3}{3!} + \frac{81(x-0)^4}{4!}</tex>$

$<tex>P_4(x) = 1 + 2x -\frac{9}{2}x^2 + 0 + \frac{81x^4}{1\cdot2\cdot3\cdot4}</tex>$

Entonces el Polinomio de Taylor pedido es: $<tex>P_4(x) = 1 + 2x -\frac{9}{2}x^2 + \frac{27x^4}{8}</tex>$

Ahora pasamos a calcular el error cometido al aproximar $<tex>f(\frac{1}{15})</tex>$ por $<tex>P_4(\frac{1}{15})</tex>$

Veamos la formula del resto:

Formula del resto:

$<tex>R_n(x) = \left|\frac{f^{n+1}(c)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \right| </tex>$ con $<tex>c</tex>$ entre $<tex>x_0</tex>$ y $<tex>x</tex>$

Aplicado al Ejemplo: $<tex>R_4(x) = \left|\frac{f^v(c)(x-x_0)^5}{5!} \right| </tex>$ con $<tex>c</tex>$ entre $<tex>x_0</tex>$ y $<tex>x</tex>$

ahora pasemos a calcular $<tex>f^v(x)</tex>$

$<tex>f^v(x)=0 - 243sen(3x)</tex>$

Ahora se calcula la formula del resto con $<tex>x=\frac{1}{15}</tex>$ :

$<tex>R_4(x) = \left|\frac{243sen(c)(\frac{1}{15}-0)^5}{5!} \right| </tex>$ con $<tex>c</tex>$ entre $<tex>x_0</tex>$ y $<tex>\frac{1}{15}</tex>$

Se acota el resto, como se tiene $<tex>sen(c)</tex>$ que es una funcion oscilante (entre -1 y 1) en módulo, entonces el valor máximo que puede tomar $<tex>sen(c)</tex>$ es $<tex>\fbox 1</tex>$ , asi que para acotar el resto considero a $<tex>sen(c)=1</tex>$ .

Entonces nos queda:

$<tex>\left|\frac{243sen(c)1}{5!15^5} \right| < \frac{243}{5!15^5} </tex>$

$<tex>\left|\frac{243sen(c)1}{5!15^5} \right| \leq 2,6666\cdots \,10^{-6} </tex>$

Entonces el error que se comete al calcular $<tex>f(\frac{1}{15})</tex>$ por $<tex>P_4(\frac{1}{15})</tex>$ es $<tex>\leq \, 2,66\cdots \,10^{-6}</tex>$ .

Punto II

Este es un ejercicio típico de Ecuaciones Diferenciales, tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$<tex>3f^2(x)f'(x) - (3x-5)^2 ln(3x-5) = 0</tex>$

despejemos un poco:

$<tex>3f^2(x)f'(x) = (3x-5)^2 ln(3x-5)</tex>$

ahora pasemos a integrar ambas partes:

$<tex>\int3f^2(x)f'(x)dx = \int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx</tex>$

Ahora integramos cada parte por separado, empecemos por:

$<tex>\int3f^2(x)f'(x)dx</tex>$ entonces aplico el metodo de sustitución $<tex> z=f(x) \\ dz=f'(x)dx</tex>$ ahora reemplazo en la integral:

$<tex>\int3z^2dz</tex>$ opero: $<tex>3\int z^2dz</tex>$ entonces $<tex>3\frac{z^3}{3} \, + \, C_1</tex>$ , por lo tanto la primitiva de $<tex>\int3f^2(x)f'(x)dx</tex>$ es $<tex>(f(x))^3 + C_1</tex>$

Seguimos con:

$<tex>\int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx</tex>$ , aca se va a utilizar el Metodo de Integracion por partes: $<tex>f(x)=ln(3x-5) \to f'(x)=\frac{3}{3x-5} \\ \\ g'(x)=(3x-5)^2 \to g(x)=\frac{(3x-5)^3}{9}</tex>$ entonces nos queda:

$<tex>\int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx = ln(3x-5)\frac{(3x-5)^3}{9} - \int \frac{(3x-5)^3}{9} \frac{3}{3x-5}dx</tex>$ entonces nos queda:

$<tex>\int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx = ln(3x-5)\frac{(3x-5)^3}{9} - \int \frac{(3x-5)^2}{3}dx</tex>$

Ahora nos queda solo integrar: $<tex>\int \frac{(3x-5)^2}{3}dx</tex>$ , Operamos…

$<tex>\frac{1}{3}\int (3x-5)^2dx</tex>$ entonces nos queda $<tex>\frac{1}{3} \frac{(3x-5)^3}{9} + C_2 </tex>$

Por lo tanto la primitiva de:

$<tex>\int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx = ln(3x-5)\frac{(3x-5)^3}{9} - \frac{1}{3} \frac{(3x-5)^3}{9} + C_2 </tex>$ simplificamos un poco:

$<tex>\int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx = \frac{(3x-5)^3}{9}(ln(3x-5) - \frac{1}{3}) + C_2 </tex>$

y ahora reemplazamos en la igualdad de arriba:

$<tex>\int3f^2(x)f'(x)dx = \int(3x-5)^2 ln(3x-5)dx</tex>$ ahora nos queda como…

$<tex>(f(x))^3 + C_1 = \frac{(3x-5)^3}{9} \left( ln(3x-5) - \frac{1}{3} \right) + C_2 </tex>$

juntamos las constantes y pasamos la potencia como raiz y nos queda:

$<tex>f(x)= \sqrt[3]{\frac{(3x-5)^3}{9} \left( ln(3x-5) - \frac{1}{3} \right) + C} </tex>$ donde $<tex> C = C_2 - C_1 </tex>$ .

Ahora para terminar de sacar $<tex>f(x)</tex>$ se tiene q calcular el valor de $<tex>C</tex>$ y para eso se usa el dato que nos dan que es $<tex>f(2)= -\frac{1}{3}</tex>$ entonces:

$<tex>f(2)= \sqrt[3]{\frac{(1)^3}{9} \left( ln(1) - \frac{1}{3} \right) + C}</tex>$

$<tex> -\frac{1}{3}= \sqrt[3]{\frac{1}{9} \left( -\frac{1}{3} \right) + C}</tex>$

$<tex> \left(-\frac{1}{3} \right)^3= -\frac{1}{27} + C</tex>$

$<tex> -\frac{1}{27}= -\frac{1}{27} + C</tex>$

$<tex> -\frac{1}{27} + \frac{1}{27}=C</tex>$

entonces nos queda q $<tex>C = \fbox 0 </tex>$

por lo tanto la funcion $<tex>f(x)</tex>$ pedida es:

$<tex>f(x)= \sqrt[3]{\frac{(3x-5)^3}{9} \left( ln(3x-5) - \frac{1}{3} \right)} </tex>$

Punto III

Este ejercicio consiste en calcular el area entre 2 curvas, para eso se tiene que utilizar las tan conocidas integrales.

Tenemos la curva $<tex>f(x) = (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}</tex>$ y la curva $<tex>g(x) = 2(x-3)</tex>$ , para hallar el area entre esas 2 curvas, tenemos que primero buscar, en que puntos se interseccionan (o vulgarmente dicho, se cruzan), pasemos a buscarlos:

$<tex>(x-3)\sqrt[3]{6x-x^2} \,= \, 2(x-3)</tex>$ , uno de los puntos de intersección se ve a simple vista y es $<tex>(x=3)</tex>$ , ahora pasemos a buscar el/los otro/s punto/s:

$<tex>(x-3)\sqrt[3]{6x-x^2} \,= \, 2(x-3)</tex>$ opero:

$<tex>\sqrt[3]{6x-x^2} \,= \, 2</tex>$

$<tex>6x-x^2 \,= \, 8</tex>$

$<tex>-x^2 + 6x -8\,= \, 0</tex>$ y de esta ecuacion cuadrática sale q los otros 2 puntos de intersección son: $<tex>(x=2)</tex>$ y $<tex>(x=4)</tex>$

En resumen los puntos de interseccion entre las curvas $<tex>f(x)</tex>$ y $<tex>g(x)</tex>$ son $<tex>(x=2), \,(x=3), \,(x=4)</tex>$

ahora vamos a averiguar cual es el “techo” y cual es el “piso” entre los intervalos formados por los puntos hallados:

$<tex>\begin{array}{||c|c|c|c|c|c||} \hline \hline & 2 & (2;3) & 3 &(3;4) & 4 \\ \hline f(x) & -2 & piso & 0 & techo & 2 \\ \hline g(x) & -2 & techo & 0 & piso & 2 \\ \hline \hline \end{array}</tex>$

$<tex>f(\frac{5}{2}) < g(\frac{5}{2})</tex>$

$<tex>f(\frac{7}{2}) > g(\frac{7}{2})</tex>$

Ahora pasamos a armar las integrales, para que recuerden como era el area entre curvas, a continuación voy a poner un caso general:

$<tex>\int^b_a (techo) - (piso)dx</tex>$ , ahora pasamos a armar las integrales:

$<tex>\int_2^3 2(x-3) - (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}dx \, + \, \int_3^4 (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2} - 2(x-3)dx</tex>$ , lo unico q nos queda es calcular las integrales por separado, empezemos con:

$<tex>\int_2^3 2(x-3) - (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}dx</tex>$ , opero:

$<tex>2 \int_2^3 (x-3)dx = 2 \left(\frac{x^2}{2} - 3x \right) \Bigg|_2^3 </tex>$ por lo tanto:

$<tex>2 \int_2^3 (x-3)dx = -1 </tex>$

Ahora paso a calcular:

$<tex>\int_2^3 (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}dx</tex>$ aplico el metodo de sustitucion: $<tex> z=(-x^2 + 6x) \\ -\frac{dz}{2}= (x - 3)dx</tex>$ reemplazo en la integral y CAMBIO LOS LIMITES DE INTEGRACION!:

$<tex> -\frac{1}{2} \int_8^9 \sqrt[3]{z}dz</tex>$ , opero: $<tex> -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{4}z^{\frac{4}{3}} \right) \Bigg|_8^9 \, = \, -\frac{3}{8} (\sqrt[3]{6561}-16)</tex>$ .

Por lo tanto la:

$<tex>\int_2^3 2(x-3) - (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}dx \, = \, -1 \, + \, \frac{3}{8} (\sqrt[3]{6561}-16) </tex>$

Ahora pasemos a calcular(como en parte ya se calculo, me limito a mostrarles el resultado, con el procedimiento, pueden verificarlos uds):

$<tex>\int_3^4 (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2} - 2(x-3)dx \, = \, -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{4}z^{\frac{4}{3}} \right) \Bigg|_9^8 \, - \, 2 \left( \frac{(x-3)^2}{2} \right) \Bigg|_3^4 \, = \\ = \, -\frac{3}{8} (16 - \sqrt[3]{6561}) - 1</tex>$

y por ultimo solo resta sumar ambos resultados:

$<tex> (-1 \, + \, \frac{3}{8} (\sqrt[3]{6561}-16)) \, + \, (-\frac{3}{8} (16 - \sqrt[3]{6561}) - 1) \, = \, \frac{3}{4} \sqrt[3]{6561} - 12 </tex>$

Por lo tanto el Área entre la región comprendida entre las curvas $<tex>f(x) = (x-3)\sqrt[3]{6x-x^2}</tex>$ y $<tex>g(x) = 2(x-3)</tex>$ es:

$<tex> \frac{3}{4} \sqrt[3]{6561} - 12 </tex>$

Punto IV

Tenemos la siguiente serie: $<tex>\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(x-2)^n}{n^3+4}</tex>$ , primero tenemos que ver que tipo de Serie es:

Como se ve a simple vista, esta Serie, se trata de una Serie de Potencia, ahora pasamos a buscar todos $<tex>x \in \mathbf{R}</tex>$ , para eso se tiene que estudiar el módulo de la Seria dada:

$<tex> \left| \frac{(x-2)^n}{n^3+4} \right| </tex>$ , entonces nos queda $<tex>\frac{|(x-2)^n|}{n^3+4}</tex>$ , Ahora apliquemos el Criterio de Cauchy

forma genérica: $<tex> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}</tex>$ , ahora apliquemos a la serie:

$<tex> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{|(x-2)^n|}{n^3+4}} </tex>$ , distribuyo: $<tex>\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{|(x-2)^n|}}{\sqrt[n]{n^3+4}}</tex>$ , ahora calculo cada límite por separado:

$<tex> \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3+4} \, = \, \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^3}\sqrt[n]{1+\frac{4}{n^3}} \,= \, 1 </tex>$

ahora me queda:

$<tex> \lim_{n \to \infty} \frac{|(x-2)|}{1}</tex>$ , ahora para que nuestra Serie converja, el $<tex> \lim \, < \, 1</tex>$ , entonces:

$<tex>|(x-2)| \, < \, 1 </tex>$ , desarrollo el módulo y nos queda: $<tex>-1 \, < \, (x-2) \, < \, 1 </tex>$ , opero: $<tex>-1+2 \, < \, x \, < \, 1+2 </tex>$ , entonces la serie converge para todo $<tex> x \, \in \, (1;3)</tex>$

El intervalo hallado no es el correcto, ya que uno suponte que la serie converge dentro del intervalo pero no en los bordes, para eso lo unico que resta hacer es analizar los bordes:

Para $<tex>(x=1)</tex>$ :

$<tex>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-2)^n}{n^3+4} \, = \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3+4} </tex>$ , es una Serie aleternada.

Apliquemos el Criterio de Liebnitz:

$<tex>\sum_{n=1}^{\infty} a_n (-1)^n </tex>$ , donde $<tex> a_n \, = \, \frac{1}{n^3+4} </tex>$

veamos si satisface las 3 hipotesis del criterio de Liebnitz:

1) $<tex>a_n</tex>$ es positiva? : Si porque es una suma de positivos $<tex>n^3+4</tex>$ para todo $<tex>n \, \in \, \mathbf{N}</tex>$

2) $<tex>\lim_{n \to \infty} a_n \, = \, 0 </tex>$ ? : si ya que $<tex>\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^3+4} \, = \, 0 </tex>$

3) $<tex>a_n</tex>$ es decreciente? : para que $<tex>a_n</tex>$ sea decreciente, tiene que satisfacer la siguiente desigualdad $<tex>a_n > a_{n+1}</tex>$ , veamos si es cierto esto:

$<tex>\frac{1}{n^3+4} > \frac{1}{(n+1)^3+4} </tex>$ , opero: $<tex>(n+1)^3+4 > n^3+4</tex>$ , por lo tanto, satisface la igualdad $<tex>\frac{1}{n^3+4} > \frac{1}{(n+1)^3+4}</tex>$ , entonces $<tex>a_n</tex>$ es decreciente.

Cumplidas las 3 hipotesis del Criterio de Liebnitz, podemos asegurar que la Serie converge Absolutamente cuando $<tex>(x=1)</tex>$

Para $<tex>(x=3)</tex>$ :

$<tex>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3-2)^n}{n^3+4} \, = \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3+4} </tex>$ , utilizamos el criterio de comparacion con $<tex>b_n \, = \, \frac{1}{n^3}</tex>$ :

como $<tex>{n^3+4} > n^3 \, => \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3+4} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}</tex>$ , y como $<tex>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}</tex>$ es una Serie P con P > 1, entonces Converge.

Por lo tanto $<tex>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3+4}</tex>$ también converge cuando $<tex>(x=3)</tex>$ .

Por lo tanto la Serie $<tex>\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(x-2)^n}{n^3+4}</tex>$ converge para todo $<tex>x \, \in \, [1;3]</tex>$

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.