Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2006
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2006

Fecha: 1° Cuatrimestre 2006
Tema: 2

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Sea $<tex>a_n </tex>$ una sucesión de términos positivos definida como
$<tex> $ \begin{equation}\nonumber a_1=1, \quad a_{n+1}=\frac{\sqrt[n]{n+3}}{2}a_n, \qquad n \in \mathbf{N} \end{equation} $ </tex>$
Calcular, si existe, el $<tex>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3+4a_n}{4+3a_n} </tex>$ .

Punto II

La recta tangente al gráfico de $<tex>f(x) </tex>$ en $<tex>x=5 </tex>$ es $<tex>y=3x-6 </tex>$ . Determinar los valores de $<tex>f(5) </tex>$ y $<tex>f'(5) </tex>$ y hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de $<tex>g(x)=e^{\sqrt{f(2x-1)}-3} </tex>$ en $<tex>x=3</tex>$ .

Punto III

Hallar la cantidad de soluciones de la ecuación $<tex>f(x)=125</tex>$ , siendo
$<tex>f(x)=\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{3x^3}{{(x-2)}^2} & \mbox{ si } x\geq \frac{5}{3} \\ |x+1|+5 & \mbox{ si } x<\frac{5}{3} \end{array} \right. </tex>$ .

Punto IV

Hallar la distancia mínima del punto $<tex>P=\left( \frac{1}{32}, \frac{5}{2} \right) </tex>$ a la parábola $<tex>y=x^2+2</tex>$ .

Resolución

Punto IV

Es un problema de Optimización donde se minimizará el cuadrado de la Distancia ( $<tex>d^2</tex>$ ).

La ecuación de la distancia es la siguiente:

$<tex>d = \sqrt {\left( {y - yo} \right)^2 + \left( {x - xo} \right)^2 }</tex>$

Luego, reemplazando los datos: $<tex>xo=\frac{1}{32}</tex>$ ; $<tex>yo=\frac{5}{2}</tex>$ ; $<tex>y=x^2+2</tex>$ desarrollando, queda así:

$<tex>d^2 = \left( {x^2 + 2 - \frac{5}{2}} \right)^2 + \left( {x - \frac{1}{{32}}} \right)^2</tex>$ Luego,

$<tex>d^2 = x^4 - x^2 + \frac{1}{4} + x^2 - \frac{x}{{16}} + \frac{1}{{1024}}</tex>$

y ordenando, queda: $<tex>d^2 = x^4 - \frac{x}{{16}} + \frac{257}{{1024}}</tex>$

Por comodidad, escribimos que $<tex>d^2=D</tex>$

Derivamos $<tex>D</tex>$ e igualamos a cero para obtener los puntos críticos:

$<tex>D'(x)= 4x^3- \frac{1}{16}=0</tex>$

$<tex>4x^3 = \frac{1}{{16}}</tex>$

$<tex>x = \sqrt[3]{\frac{1}{{64}}}</tex>$

$<tex>x = \frac{1}{{4}}</tex>$

Para verificar si es un máximo o un mínimo, lo hacemos con la segunda derivada:

Si $<tex>D''(xo)>0</tex>$ , entonces $<tex>xo</tex>$ es un MÍNIMO

Si $<tex>D''(xo)<0</tex>$ , entonces $<tex>xo</tex>$ es un MÁXIMO

Entonces, siguiendo este criterio, nos queda:

$<tex>D''(x)=12x^2</tex>$

Reemplazando $<tex>\frac{1}{{4}}</tex>$ en $<tex>D''</tex>$ tenemos:

$<tex>12(\frac{1}{{4}})^2= \frac{3}{{4}} >0 </tex>$

De esta manera, decimos que $<tex>xo= \frac{1}{{4}}</tex>$ es un MÍNIMO.

Ahora, reemplazando $<tex>\frac{1}{{4}}</tex>$ en $<tex>f(x)</tex>$ obtenemos $<tex>y</tex>$ :

$<tex>y= \frac{33}{{16}}</tex>$

Por lo tanto, la distancia es:

$<tex>d = \sqrt {\left( {\frac{{33}}{{16}} - \frac{5}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right)^2 = } \frac{{\sqrt {245} }}{{32}} \cong 0,489</tex>$

CONCLUSIÓN: “La distancia mínima desde el punto $<tex>P=\left( \frac{1}{32}, \frac{5}{2} \right) </tex>$ hasta $<tex>f(x)= x^2+2</tex>$ es aproximadamente $<tex>0,489</tex>$ ”

Discusión

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