Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2005
Fecha: 1° Cuatrimestre 2005
Tema: 3
Enunciado
Punto I
Sea ![<tex>a_n=(4n+1) {\left[ \frac{3n^2+2}{3n^2+5} \right]}^{\displaystyle 5n^3+7n} </tex>](lib/plugins/latex/images/daf85f4a0209b305b80240126e1dbd8487eb8c8c_0.png "<tex>a_n=(4n+1) {\left[ \frac{3n^2+2}{3n^2+5} \right]}^{\displaystyle 5n^3+7n} </tex>")
. Calcular 
.
Punto II
Dadas las funciones 
y 
, encontrar 
tal que las rectas tangentes a los gráficos de 
y de 
en 
sean paralelas. Calcular el valor de la pendiente.
Punto III
Sea 
. Hallar intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos locales de 
. Hallar todos los 
para los cuales 
tiene exactamente tres soluciones.
Punto IV
Sea 
una función dos veces derivable tal que el polinomio de Taylor de orden 
en 
, expresado en potencias de 
, es 
. Calcular el polinomio de Taylor de orden 
en 
, expresado en potnecias de 
, de 
.
Resolución
Punto II
Si las rectas tangentes serán PARALELAS, significa que sus pendientes (
) serán IGUALES (
)
Por definición: 
, por lo tanto, en nuestro caso será: 
Se procede a derivar y 
…
Por su parte, 
Entonces, ya que 
nos queda así:
Simplificando 
nos queda:
y así nos queda que 
Para obtener la pendiente, reemplazamos este valor en cualquiera de las 2 derivadas:
Por lo tanto, la pendiente es 
