Examen (Parcial) - 27. Álgebra I - 19/11/08
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Examen (Parcial) - 27. Álgebra I - 19/11/08

Sede: Ciudad Universitaria/Turno Tarde
Fecha: Segundo Parcial - Primera Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2008
Día: 19/11/2008

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Sea $<tex>f:R^4\rightarrow R^4,\,f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_2-x_4,-x_1+x_2+x_3,-x_1+x_3+x_4,x_2-x_4)</tex>$
Definir, si es posible, un proyector $<tex>p:R^4\rightarrow R^4</tex>$ que verifique simultaneamente:
$<tex>p\circ{f} =0;\,f \circ{p}=0;\,p \neq 0</tex>$

Punto II

Sean $<tex>B=\{(1,1,1);(0,1,-1);(0,0,-1)\}</tex>$ y $<tex>B'=\{(1,-1,0);(0,0,1);(0,1,2)\}</tex>$ y sea $<tex>f:R^3\rightarrow R^3</tex>$ la transformación lineal tal que $<tex>M_{BB'}(f)=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{1}&{2}&{0}\\{-1}&{-1}&{-1}\end{array}\right)</tex>$
Dados $<tex>S=<(1,2,0);(0,-2,1)></tex>$ y $<tex>T=\{x \in R^3/x_2+x_3=0\}</tex>$ , hallar $<tex>f(S) \cap T</tex>$

Punto III

Sea $<tex>P(x)=x^2-(1-2i)x-(1+i)</tex>$ . Hallar un polinomio $<tex>Q(x) \in R[X]</tex>$ , de grado mínimo, que tenga a 3 como raíz doble, y tal que todas las raices de P sean raices de Q.

Punto IV

Sean $<tex>B=\{(1,0,1);(0,-1,1);(1,-1,1)\}</tex>$ y $<tex>f:R^3\rightarrow R^3</tex>$ la t.l tal que $<tex>M_{EB}(f)=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 3\\-4 & 1 & 3\\-1 & 1 & -3\end{array}\right)</tex>$
Hallar los autovalores y autovectores de $<tex>f</tex>$ y decidir si $<tex>f</tex>$ es diagonalizable.

Resolución

Punto II

Busco $<tex>f(S)</tex>$ : uso que $<tex>(f(v))_{B'}=M_{BB'}(f)(v)_B</tex>$
$<tex>\Rightarrow (f(1,2,0))_{B'}=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{1}&{2}&{0}\\{-1}&{-1}&{-1}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} 1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left (\begin{array}{ccc} 1\\ 3 \\ -2\end{array}\right)</tex>$
porque $<tex>(1,2,0)=a(1,1,1) + b (0,1,-1) + c(0,0,-1)</tex>$
$<tex>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \vdots& 1\\1 & 1 & 0 & \vdots & 2\\1 & -1 & -1 & \vdots& 0\end{array}\right)</tex>$ triangulo y obtengo $<tex>a=1,\; b=1,\; c=0\; \Rightarrow (1,2,0)_B=(1,1,0)</tex>$
$<tex>\Rightarrow (f(1,2,0))_{B'}=(1,3,-2)</tex>$
$<tex>\Rightarrow f(1,2,0)=1(1,-1,0)+3(0,0,1)-2(0,1,2)=(1,-3,-1)</tex>$
$<tex>(f(0,-2,1))_{B'}=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{1}&{2}&{0}\\{-1}&{-1}&{-1}\end{array}\right)\cdot \left (\begin{array}{ccc} 0\\ -2 \\ 1\end{array}\right)=\left (\begin{array}{ccc} 2\\ -4 \\ 1\end{array}\right)</tex>$
porque $<tex>(0,-2,1)_B=a(1,1,1)+b(0,1,-1)+c(0,0,-1)</tex>$
$<tex>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \vdots& 0\\1 & 1 & 0 & \vdots & -2\\1 & -1 & -1 & \vdots& 1\end{array}\right)</tex>$ triangulo y obtengo $<tex>a=0,\; b=-2,\; c=1\; \Rightarrow (0,-2,1)_B=(0,-2,1)</tex>$
$<tex>\Rightarrow (f(0,-2,1))_{B'}=(2,-4,1)</tex>$
$<tex>\Rightarrow f(0,-2,1)=2(1,-1,0)-4(0,0,1)+(0,1,2)=(2,-1,-2)</tex>$
Busco $<tex>f(S)\cap T</tex>$
$<tex>f(S)=<(1,-3,-1),(2,-1,-2)></tex>$
$<tex>s\in f(S)\Rightarrow s=a(1,-3,-1)+b(2,-1,-2)=(a+2b,-3a-b,-a-2b)</tex>$
Busco que cumpla con la ecuación de $<tex>T:\; x_2+x_3=0 \Rightarrow -3a-b-a-2b=0 \Rightarrow -4a-3b=0\Rightarrow a=-\frac{3}{4}b</tex>$
$<tex>\Rightarrow</tex>$ reemplazando obtengo $<tex>s=(\frac{5}{4}b,\frac{5}{4}b,-\frac{5}{4}b)</tex>$
$<tex>\Rightarrow f(S)\cap T=<(\frac{5}{4},\frac{5}{4},-\frac{5}{4})></tex>$

Punto III

Primero busco las raices de $<tex>P(x)=x^2-(1-2i)x-(1+i)</tex>$

$<tex>a=1\\b=-(1-2i)\\c=-(1+i)\\</tex>$
$<tex>\Rightarrow x=\frac{-b+w}{2a}/w^2=b^2-4ac</tex>$
$<tex>x=\frac{1-2i+w}{2}/w^2=(-1+2i)^2+4(1+i)=1-4i+(2i)^2+4+4i=1-4i-4+4+4i\\\Rightarrow w^2=1 \Rightarrow |w|=\sqrt{1} \Rightarrow w=+-1</tex>$
$<tex>\Rightarrow x_1=\frac{1-2i+1}{2}=1-i</tex>$ y $<tex>x_2=\frac{1-2i-1}{2}=-i</tex>$
$<tex>\Rightarrow</tex>$ Raices de $<tex>P(x)=\{1-i,-i\}</tex>$ que a su vez tienen que ser raices de $<tex>Q(x)</tex>$ .
Como $<tex>Q(x) \in R[X]</tex>$ , si $<tex>Q(x)</tex>$ tiene una raíz compleja, entonces, el conjugado de esta también es raíz de $<tex>Q(x)</tex>$
$<tex>\Rightarrow</tex>$ raices de $<tex>Q(x)=\{1-i,1+i,-i,i\}</tex>$

Además, 3 tiene que ser raíz doble.
$<tex>\Rightarrow Q(x)=(x-3)^2(x-(1-i))(x-(1+i))(x+i)(x-i)</tex>$

Punto IV

Primero busco la matríz de la t.l expresada en una sola base
$<tex>M_E(f)=C_{BE}\cdot M_{EB}(f)=\left (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\0 & -1 & -1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot \left (\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 3\\-4 & 1 & 3\\-1 & 1 & -3\end{array}\right)=\left (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\5 & -2 & 0\\-1 & 1 & 3\end{array}\right)</tex>$
Busco los autovalores de f, para eso necesito $<tex>P(\alpha)\Rightarrow</tex>$ busco $<tex>\left|\begin{array}{c} M(f)-\alpha I\end{array}\right |=0</tex>$
$<tex>\Rightarrow \left |\begin{array}{ccc} 3-\alpha & 0 & 0\\5 & -2-\alpha & 0\\-1 & 1 & 3-\alpha\end{array}\right |=(3-\alpha)(-2-\alpha)(3-\alpha)=0</tex>$ (desarrollando el determinante por la primer fila)
$<tex>\Rightarrow</tex>$ autovalores de $<tex>f=\{3,-2\}</tex>$
Si $<tex>\alpha = 3 \Rightarrow</tex>$ busco $<tex>v/(M(f)-3I)v=0</tex>$
$<tex>\Rightarrow \left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\5 & -5 & 0\\-1 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot v=0</tex>$
$<tex>\Rightarrow \left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\5 & -5 & 0\\-1 & 1 & 0\end{array}\right)</tex>$ $<tex>F_3\Leftrightarrow{F_1}</tex>$ $<tex>\left (\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0\\5 & -5 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</tex>$ $<tex>F_2+5F_1\rightarrow F_2</tex>$ $<tex>\left (\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right )</tex>$

$<tex>\Rightarrow</tex>$ Busco $<tex>(x,y,z)/-x+y=0\Rightarrow x=y\Rightarrow (x,y,z)=y(1,1,0)+z(0,0,1)</tex>$ $<tex>y,z \in R</tex>$
$<tex>\Rightarrow S_3=<(1,10),(0,0,1)></tex>$

Como $<tex>\alpha=-2</tex>$ es raíz simple $<tex>\Rightarrow dim(S_{-2})=1</tex>$ ya puedo asegurar que $<tex>f</tex>$ es diagonalizable.
Si $<tex>\alpha=-2\Rightarrow</tex>$ busco $<tex>v/(M(f)+2I)v=0</tex>$
$<tex>\Rightarrow \left (\begin {array}{ccc} 5 & 0 & 0\\5 & 0 & 0\\-1 & 1 & 5\end{array}\right)\cdot v=0</tex>$
$<tex>\Rightarrow \left (\begin {array}{ccc} 5 & 0 & 0\\5 & 0 & 0\\-1 & 1 & 5\end{array}\right) F_2-F_1\rightarrow F_2 \left (\begin {array}{ccc} 5 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 5\end{array}\right) F_1\Leftrightarrow {F_3} \left (\begin {array}{ccc} -1 & 1 & 5\\0 & 0 & 0\\5 & 0 & 0\end{array}\right)\\ F_3+5F_1\rightarrow F_3 \left (\begin {array}{ccc} -1 & 1 & 5\\0 & 0 & 0\\0 & 5 & 25\end{array}\right) \Rightarrow \left (\begin {array}{ccc} -1 & 1 & 5\\0 & 1 & 5\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</tex>$
Busco $<tex>(x,y,z)/ \{</tex>$ $<tex> -x+y+5z=0\Rightarrow x=0\\y+5z=0\Rightarrow y=-5z </tex>$
$<tex>\Rightarrow (x,y,z)=z(0,-5,1)</tex>$ $<tex>z\in R </tex>$
$<tex>\Rightarrow S_{-2}=<(0,-5,1)></tex>$
Efectivamente tengo una base de autovectores $<tex>\{(1,1,0),(0,0,1),(0,-5,1)\}</tex>$
$<tex>f</tex>$ es diagonalizable.

Discusión

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