Examen Parcial - 27. Álgebra I - 30/06/2006
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

2006

Sede: Ciudad Universitaria/Turno Mañana
Fecha: Segundo Parcial, Primera Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2006
Día: 30/06/2006

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$<tex>\mbox{Sean } \mathbf{S}=\{\mathbf{x}\in\mathbf{R}^4/x_1+x_3+x_4=0\} \mbox{ y }</tex>$
$<tex>\mathbf{T}=\langle(-1,1,1,1);(1,1,2,0);(0,1,0,1)\rangle</tex>$ $<tex>\mbox{Definir, si es posible, una transformacion lineal }f:\mathbf{R}^4\rightarrow\mathbf{R}^4\mbox{ que verifique simultaneamente}</tex>$

$<tex>f(\mathbf{S})=f(\mathbf{T})</tex>$
$<tex>\dim{(\mathop{\mathrm{Nu}}{f})}=1</tex>$

$<tex>\mbox{Deteminar la dimension de} f(\mathbf{T})</tex>$

Punto II

$<tex>\mbox{Sean } B=\{\mathbf{v_1};\mathbf{v_2};\mathbf{v_3}\} \mbox{ y } B'=\{\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2};\mathbf{v_2}+\mathbf{v_3};\mathbf{v_1}+\mathbf{v_3}\}\mbox{ bases de un espacio vectorial }\mathbf{V};</tex>$
$<tex>f:\mathbf{V}\rightarrow\mathbf{V}\mbox{ la transformacion lineal tal que }</tex>$
$<tex>M_{BB'}(f)= \left(\begin{array}{ccc} 1 & a & 3 \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\\end{array}\right)</tex>$
$<tex> \mbox{ y } \mathbf{v}=\mathbf{v_1}+5\mathbf{v_2}\mbox{.}</tex>$
$<tex>\mbox{Determinar } a \in \mathbf{R} \mbox{ tal que } \dim{(\mathop{\mathrm{Im}}f)}=2 \mbox{, y para el }a\mbox{ hallado decidir si } \mathbf{v} \in \mathop{\mathrm{Im}}f\mbox{.}</tex>$

Punto III

$<tex>\mbox{Hallar todas las raices de }P(x)=x^4-6x^3+8x^2+12x-20\mbox{ sabiendo que la suma de sus raices reales es igual a cero}</tex>$

Punto IV

$<tex>\mbox{Sean }B=\{(1,1,0);(1,0,1);(0,1,0)\} \mbox{ y } f:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R}^3 \mbox{ la transformacion lineal tal que } M_{BE}(f)= \left(\begin{array}{ccc} 4 & 5 & -1 \\ 4 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array}\right) \mbox{. Decidir si }f\mbox{ es diagonalizable.}</tex>$