Examen Parcial - 27. Álgebra I - 17/05/2006
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

2006

Sede: Ciudad Universitaria/Turno Mañana
Fecha: Primer Parcial, Primera Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2006
Día: 17/05/2006

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$<tex> \mbox{Sean } \Pi_1: 7x-5y-2z=0, \Pi_2: 5x-4y-z=0, \mbox{ y } \mathbf{L} \mbox{ la recta que pasa por los puntos } P=(-2,3,-3),\ Q=(-1,2,-1) \mbox{. Hallar todos los planos } \Pi \mbox{ que verifican simultaneamente:}</tex>$

$<tex>\Pi_1 \cap \Pi_2 \cap \Pi_3 = \emptyset</tex>$
$<tex>d(R,\Pi)=\sqrt{14} \mbox{ para todo } R \in \mathbf{L}</tex>$

Punto II

$<tex>\mbox{Se sabe que } \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \mbox{ y } \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \mbox{ son soluciones de } A \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)</tex>$
$<tex>\mbox{y que } \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \mbox{ es solucion de } A \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right). A \in \mathbf{R}^{3 \times 3}</tex>$
$<tex>\mbox{Encontrar tres soluciones distintas del sistema } A\mathbf{x}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right)</tex>$

Punto III

$<tex>\mbox{Sea } \{ \mathbf{v_1}; \mathbf{v_2}; \mathbf{v_3} \} \mbox{ una base de un espacio vectorial } \mathbf{V} \mbox{. Hallar los valores de } a, b \mbox{ y } c \mbox{ para que }</tex>$
$<tex>\langle 2\mathbf{v_1}-\mathbf{v_2}-2\mathbf{v_3} ; \mathbf{v_1}+3\mathbf{v_2}+\mathbf{v_3}; \mathbf{v_1}+a\mathbf{v_2}-3\mathbf{v_3} \rangle = \langle -\mathbf{v_1} + b\mathbf{v_2} + 3\mathbf{v_3}; b\mathbf{v_1}+5\mathbf{v_2}+c\mathbf{v_3}\rangle </tex>$

Punto IV

$<tex>\mbox{Sean los subespacios } \mathbf{V}= \{ \mathbf{x} \in \mathbf{R}^5 / x_1+2x_2-x_3+x_5=0 \},</tex>$
$<tex>\mathbf{W}=\{ \mathbf{x} \in \mathbf{R}^5 / 2x_1+x_2+x_3-x_4=0\}</tex>$
$<tex>\mbox{y } \mathbf{H}= \{ \mathbf{x} \in \mathbf{R} ^5 / x_1+x_2+x_3-x_4+2x_5=0 \} \mbox{.}</tex>$
$<tex>\mbox{Hallar, si existen, subespacios } \mathbf{S} \subset \mathbf{V} \mbox{ y } \mathbf{T} \subset \mathbf{W} \mbox{ tales que:}</tex>$
$<tex>\dim \mathbf{S} = \dim \mathbf{T} = 2 \mbox{ y } \mathbf{S} \oplus \mathbf{T} = \mathbf{H}</tex>$

Resolución

Punto I

$<tex>Q-P=(-1,2,-1)-(-2,3,-3)</tex>$
$<tex>Q-P=(1,-1,2) \mbox{ es el vector director de }\mathbf{L}</tex>$
$<tex>\Longrightarrow \mathbf{L}:\mathbf{X}=\lambda\underbrace{(1,-1,2)}_{\mathbf{v}_1}+(-2,3,-3)</tex>$

$<tex>\begin{array}{crcl} \Pi_1: & 0 & = & 7x-5y-2z \\ & 2z & = & 7x-5y \\ & z & = & \frac{7}{2}x-\frac{5}{2}y \\\end{array} </tex>$

$<tex>P_1=(x,y,\frac{7}{2}x-\frac{5}{2}y)</tex>$
$<tex>P_1=x(1,0,\frac{7}{2})+y(0,1,-\frac{5}{2})</tex>$
$<tex>P_1=\lambda_1(1,0,\frac{7}{2})+\lambda_2(0,1,-\frac{5}{2})</tex>$

$<tex>\begin{array}{crcl} \Pi_2: & 0 & = & 5x-4y-z \\ & z & = & 5x-4y \\\end{array} </tex>$

$<tex>P_2=x(1,0,5)+y(0,1,-4)</tex>$
$<tex>P_2=\mu_1(1,0,5)+\mu_2(0,1,-4)</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcl}\Pi_1\cap\Pi_2? & & \\\lambda_1(1,0,\frac{7}{2})+\lambda_2(0,1,-\frac{5}{2}) & = & \mu_1(1,0,5)+\mu_2(0,1,-4) \\(\lambda_1,\lambda_2,\frac{7}{2}\lambda_1-\frac{5}{2}\lambda_2) & = & (\mu_1,\mu_2,5\mu_1-4\mu_2) \\ & & \\ \lambda_1 & = & \mu_1 \\ \lambda_2 & = & \mu_2 \\\frac{7}{2}\lambda_1-\frac{5}{2}\lambda_2 & = & 5\mu_1-4\mu_2 \\\frac{7}{2}\mu_1-\frac{5}{2}\mu_2 & = & 5\mu_1-4\mu_2 \\7\mu_1-5\mu_2 & = & 10\mu_1-8\mu_2 \\8\mu_2-5\mu_2 & = & 10\mu_1-7\mu_1 \\3\mu_2 & = & 3\mu_1 \\\mu_2 & = & \mu_1 \\\end{array} </tex>$

$<tex>\Longrightarrow \Pi_1\cap\Pi_2:</tex>$
$<tex>P_2=\mu_1(1,0,5)+\mu_1(0,1,-4)</tex>$
$<tex>P_2=\mu_1\underbrace{(1,1,1)}_{\mathbf{v}_2}=\mathbf{L}_2</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcccl}N & = & \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 & & \\N & = & \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ \end{array} \right| & = & \left( 1\cdot 2+1\cdot 1;-(1\cdot 2-1\cdot 1);1(-1)-1\cdot 1 \right) \\ & & & = & \left( 2+1; -(2-1); -1-1 \right) \\ & & & = & (3;-1;-2) \\\end{array}</tex>$

$<tex>\mbox{Siendo } \Pi: X\cdot N=d, \mbox{ tenemos:}</tex>$

$<tex>\begin{array}{ccrclcc} & & d(P,\Pi) & = & \displaystyle \frac{|P \cdot N-d|}{ \| N \| } & & \\ & & \sqrt{14} & = & \displaystyle \frac{|(-2,3,-3) \cdot (3,-1,-2)|}{\sqrt{14}} & & \\ & & 14 & = & |-3-d| & & \\\end{array}</tex>$

$<tex>\begin{array}{rclcrcl} 14 & = & -3-d_a & \acute o & 14 & = & 3+d_b \\ d_a & = & -3-14 & & 14-3 & = & d_b \\ d_a & = & -17 & & 11 & = & d_b \\\end{array}</tex>$

$<tex>\mbox{Respondemos entonces:}</tex>$
$<tex>\begin{array}{rclcrcl} & \Pi_a: & d_a=\mathbf{X}\cdot N & \qquad & & \Pi_b: & d_b=\mathbf{X}\cdot N \\ -17 & = & 3x_1-x_2-2x_3 & \qquad & 11 & = & 3x_1-x_2-2x_3 \\\end{array}</tex>$

$<tex>\mbox{Veamos ahora que se cumpla } \Pi \cap \Pi_1 \cap \Pi_2= \emptyset</tex>$
$<tex>\mathbf{L}_2 \mbox{ es la recta de interseccion de } \Pi_1 \mbox{ y } \Pi_2 \mbox{. } \mathbf{0}=(0,0,0) \mbox{ pertenece a } \mathbf{L}_2.</tex>$
$<tex>\mbox{Para que } \Pi \cap \Pi_1 \cap \Pi_2= \emptyset \mbox{ se cumpla, los tres planos no deben intersecarse en un mismo punto/plano/recta.}</tex>$
$<tex>\mbox{Como N (la normal de } \Pi \mbox{) es ortogonal a } \mathbf{L}_1 \mbox{ y a } \mathbf{L}_2,</tex>$
$<tex> \mbox{ el plano } \Pi \mbox{ puede contener a la recta de interseccion } \mathbf{L}_2, \mbox{si y solo si todos los puntos de } \mathbf{L}_2 \mbox{ estan incluidos en } \Pi_a \mbox{ o } \Pi_b</tex>$ .
$<tex>\mbox{Tomemos } \mathbf{0} \in \mathbf{L}_2:</tex>$
$<tex>-17=3 \cdot 0-0-2\cdot 0</tex>$
$<tex>-17=0 \qquad \mbox{no cumple con la ecuacion, } \mathbf{0} \not\in \Pi_a</tex>$
$<tex>-11=3 \cdot 0-0-2\cdot 0</tex>$
$<tex>-11=0 \qquad \mbox{no cumple con la ecuacion, } \mathbf{0} \not\in \Pi_b</tex>$
$<tex>\mbox{Como ya un punto de la recta } \mathbf{L}_2 \mbox{ no pertenece ni a } \Pi_a \mbox{ ni a } \Pi_b, \mbox{ entonces } \mathbf{L}_2 \not\subset \Pi_a, \mathbf{L}_2 \not\subset \Pi_b, \mbox{ entonces } \Pi_a \mbox{ o } \Pi_b \mbox{ no se intersectan con } \Pi_1 \mbox{ ni con } \Pi_2 \mbox{ en } \mathbf{L}_2 \mbox{ ni en cualquiera de los puntos de } \mathbf{L}_2,\mbox{ porque }\Pi_a \parallel \mathbf{L}_2 \mbox{ y } \Pi_b \parallel \mathbf{L}_2 \mbox{. Entonces se cumple que } \Pi_a \cap \Pi_1 \cap \Pi_2= \emptyset \mbox{ y que } \Pi_b \cap \Pi_1 \cap \Pi_2= \emptyset</tex>$

Punto II

$<tex>\begin{array}{rcl}\underbrace{A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) }_{\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) } + 2\underbrace{A \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) }_{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) } & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\A \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\A \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\A \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \end{array}</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcl}\underbrace{A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) }_{\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) } + 2\underbrace{A \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) }_{\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) } & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ A \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + 2 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ A \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array} \right) \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \end{array}</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcl}\frac{A \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array} \right)}{2} + \frac{A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \\ \end{array} \right)}{2} & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\\frac{A}{2} \left( \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -1 \\ \end{array} \right) \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\\frac{A}{2} \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\A \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array} \right) \end{array}</tex>$