27. Álgebra I

Álgebra vectorial: Espacios vectoriales. Base y dimensión. Producto escalar, vectorial y mixto. Interpretación geométrica. Aplicaciones a la geometría de recta y plano.

Cuerpo de los complejos: operaciones y propiedades.

Matrices y determinantes. Propiedades. Matrices especiales. Rango. Inversa de una matriz. Sistemas lineales de ecuaciones. Teorema de Roché-Frobenius. Sistemas homogéneos. Polinomios y ecuaciones algebraicas.

Unidad 1: Álgebra Vectorial.
Puntos en el espacio n-dimensional. Vectores. Producto escalar. Norma. Rectas y planos. Producto vectorial.

Unidad 2: Espacios Vectoriales.
Definición. Subespacios. Independencia lineal. Combinación lineal. Sistemas de generadores. Bases. Dimensión. Suma e intersección de subespacios. Suma directa. Espacios con producto interno.

Unidad 3: Matrices y Determinantes.
Espacios de matrices. Suma y producto de matrices. Ecuaciones lineales. Eliminación de Gauss-Jordan. Rango. Teorema de Roché-Frobenius. Determinantes. Propiedades. Determinante de un producto. Determinantes e inversas.

Unidad 4: Transformaciones Lineales.
Definición. Núcleo e Imagen. Monomorfismos, epimorfismos, isomorfismos. Composición de transformaciones lineales. Transformaciones lineales inversas.

Unidad 5: Números complejos y polinomios.
Números complejos. Operaciones. Forma binómica y trigonométrica. Teorema de De Möivre. Resolución de ecuaciones. Polinomios. Grado de un polinomio. Operaciones con polinomios. Raíces. Teorema del resto. Descomposición factorial. Teorema fundamental de Álgebra. Fórmula de interpolación de Lagrange.

Unidad 6: Transformaciones lineales y matrices.
Matriz de una transformación lineal. Matriz de la composición. Matriz de la inversa. Cambios de Bases.

Unidad 7: Autovalores y autovectores.
Vectores y valores propios. Polinomio característico. Aplicaciones. Subespacios invariantes. Diagonalización.