Trabajo Práctico Número 1 - Ecuaciones no lineales
- Consignas
- Resolución
  - Obtención de las ecuaciones que relacionan los ángulos
  - Conclusiones y evaluación de la convergencia del método

Trabajo Práctico Número 1 - Ecuaciones no lineales

Consignas

La Figura 1 muestra un mecanismo de 4 barras articuladas.
El ángulo $<tex> \alpha </tex>$ es el parámetro de entrada, mientras que $<tex> \theta </tex>$ es la variable de salida. La relación entre $<tex> \alpha </tex>$ y $<tex> \theta </tex>$ puede obtenerse a partir del planteo de la ecuación que surge al considerar la estructura como un lazo cerrado.

Teniendo en cuenta los siguientes valores:

$<tex> r_1=10\,m </tex>$
$<tex> r_2=20\,m </tex>$
$<tex> r_3=10\,m </tex>$
$<tex> r_4=15\,m </tex>$

Se pide:

A partir de la ecuación obtener la realción entre $<tex> \alpha </tex>$ y $<tex> \theta </tex>$ (planteando las ecuaciones para “x” y para “y”).
Encontrar las posiciones límites del sistema.
Plantear el método de Newton Raphson y veri…car las condiciones de convergencia.
Implementar el Método de Newton-Raphson en un programa computacional en alguno de los siguientes lenguajes: FORTRAN, C, Pascal, Basic, MATLAB.
Desarrollar una tabla con los valores $<tex> \theta_i </tex>$ tomando como parámetros de entrada $<tex> \alpha_i = 10^\circ;\,20^\circ;\, 40^\circ;\,90^\circ;\,135^\circ\,\mbox{y}\, 180^\circ </tex>$
Conclusiones

Resolución

Obtención de las ecuaciones que relacionan los ángulos

Para poder plantear las ecuaciones, llamamos al ángulo que forma la barra $<tex> r_2 </tex>$ con una recta para lela a $<tex> r_4 </tex>$ , $<tex> \gamma </tex>$ .
Planteamos primero las ecuaciones en el eje x:

$<tex> r_1 \cos{\alpha}+r_2 \cos{\gamma}-r_3\cos{\theta}+r_4=0 </tex>$

Planteamos también para el eje y:

$<tex> r_1 \sin{\alpha}+r_2 \sin{\gamma}-r_3\sin{\theta}=0 </tex>$

Despejando todo en función de $<tex> \gamma </tex>$ y usando que la suma de los cuadrados da uno llegamos a:

$<tex>r_2^2=(r_1\cos{\alpha}-r_3\cos{\theta}+r_4)^2+(r_1\sin{\alpha}-r_3\sin{\theta})^2</tex>$

Distribuyendo los cuadrados y reordenando:

$<tex>r_1^2-r_2^2+r_3^2+r_4^2+2r_1r_4\cos{\alpha}-2r_3r_4\cos{\theta}+2r_1r_3\cos{(\alpha-\theta)}=0</tex>$

Entonces esta es la función que relaciona alpha y theta, y es la que vamos a utilizar para obtener las raices por Newton-Raphson.

El programa utilizado “angulos.m” se detalla a continuación:

%angulos.m
%Trabajo Practico de A.Numerico1
clear
R=input('ingrese [r1 r2 r3 r4]= ');
r1=R(1); r2=R(2); r3=R(3); r4=R(4);
a=input('ingrese el valor de alpha(degrees): ');
a=a*pi/180;
tol=0.5e-7;
x(1)=pi/2+0.3;
x(2)=x(1)- func(a,x(1),r1,r2,r3,r4)/dfunc(a,x(1),r1,r2,r3,r4);
i=2;
while abs(x(i)-x(i-1))>tol & abs( func(a,x(i),r1,r2,r3,r4)-func(a,x(i-1),r1,r2,r3,r4) )>tol;
  i=i+1;
  x(i)=x(i-1)-func(a,x(i-1),r1,r2,r3,r4)/dfunc(a,x(i-1),r1,r2,r3,r4);
end
d1=x.*(180/pi);
disp('La solucion es: ');
d1

Donde las funciones func y dfunc son:

function F=func(alpha,theta,r1,r2,r3,r4);
 %Esta funcion sera la que debemos hallar el cero para un valor fijo de alpha
A1=r1^2-r2^2+r3^2+r4^2;
A2=-2*r1*r3*cos(alpha)*cos(theta);
A3=-2*r1*r3*sin(alpha)*sin(theta);
A4=2*r1*r4*cos(alpha);
A5=-2*r3*r4*cos(theta);
F=A1+A2+A3+A4+A5;

function DF=dfunc(alpha,theta,r1,r2,r3,r4);
 %es la derivada parcial con respecto a theta
B1=2*r1*r3*cos(alpha)*sin(theta);
B2=-2*r1*r3*sin(alpha)*cos(theta);
B3=2*r3*r4*sin(theta);
DF=B1+B2+B3;

La corrida del programa para los valores de alpha pedidos se detalla a continuación:

>> angulos
ingrese [r1 r2 r3 r4]= [10 20 10 15]
ingrese el valor de alpha(degrees): 10
La solucion es: 
d1 =
  107.1887   55.9060   53.9903   53.9641   53.9641   53.9641

>> angulos
ingrese [r1 r2 r3 r4]= [10 20 10 15]
ingrese el valor de alpha(degrees): 20
La solucion es: 
d1 =
  107.1887   61.7448   59.4865   59.4523   59.4522   59.4522

>> angulos
ingrese [r1 r2 r3 r4]= [10 20 10 15]
ingrese el valor de alpha(degrees): 40
La solucion es: 
d1 =
  107.1887   74.8363   73.1077   73.0915   73.0915

>> angulos
ingrese [r1 r2 r3 r4]= [10 20 10 15]
ingrese el valor de alpha(degrees): 90
La solucion es: 
d1 =
  107.1887  120.0186  119.7142  119.7141  119.7141

>> angulos
ingrese [r1 r2 r3 r4]= [10 20 10 15]
ingrese el valor de alpha(degrees): 135
La solucion es: 
d1 =
  107.1887  188.8166  193.1599  193.4535  193.4549  193.4549

>> angulos
ingrese [r1 r2 r3 r4]= [10 20 10 15]
ingrese el valor de alpha(degrees): 180
La solucion es: 
d1 =
  Columns 1 through 7 
  107.1887  254.3948  106.8039  254.0925  106.5843  253.9232  106.4593
  Columns 8 through 14 
  253.8278  106.3884  253.7741  106.3482  253.7437  106.3255  253.7265
  Columns 15 through 21 
  106.3126  253.7168  106.3053  253.7114  106.3012  253.7083  106.2988
  Columns 22 through 28 
  253.7065  106.2975  253.7055  106.2968  253.7049  106.2963  253.7046
  Columns 29 through 35 
  106.2961  253.7044  106.2960  253.7043  106.2959  253.7043  106.2958
  Columns 36 through 42 
  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042
  Columns 43 through 49 
  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958
  Columns 50 through 56 
  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042
  Columns 57 through 63 
  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958  253.7042  106.2958
  Columns 64 through 65 
  253.7042  106.2958

Observación: Se puede observar que para el valor de 135º, el programa converge hacia una solución mayor que 180º que no es físicamente posible, y para 180º el programa oscila sin converger.

Conclusiones y evaluación de la convergencia del método

Las condiciones de convergencia del método de Newton son las siguientes:

F(x) continua en un intervalo dado y debe cambiar de signo en dicho intervalo para asegurar que ahí hay una raíz.
La derivada no debe anularse en ese intervalo, se podría anular en el caso de que hubiera raíces múltiples y converger igual.
La derivada segunda debe ser o positiva o negativa en todo el intervalo y para asegurar la convergencia se debe elegir un punto inicial en el cual el signo de la función sea igual al signo de la derivada segunda, para asegurar la convergencia y que no se escape de rango.

En nuestro caso el análisis convergencia, al ser dificultoso el análisis de la función de Newton, lo vamos a hacer con el gráfico de la función de Newton en función de theta para algunos valores de alpha fijos:

Como vemos en el gráfico para todos los valores de alpha entre 0º y 110º aproximadamente la función converge, para valores mayores a 135º la función queda por debajo del eje X por lo que no hay raíces.
Para los demás valores la función como vemos es continua, tiene una raíz, un intervalo adecuado podría ser entre theta igual a 0º y 180º y un valor adecuado a tomar de valor inicial podría ser 90 º ya que se encuentra en un punto donde la función va a converger para la raíz que nos interesa que es entre 0º y 180º , (theta no puede ser mayor a 180º ya que nuestro límite para r3 es el piso). De los máximos de las funciones los 90º esta a la izquierda y de los mínimos a la derecha por lo que esto va a orientar a la correcta convergencia.
Como acabamos de expresar la función presenta máximos o mínimos dependiendo del valor fijo de alpha para mi intervalo, es decir que la derivada primera se anula, pero eso no altera la convergencia ya que como vimos y probamos la función converge, lo que si tenemos que tener en cuenta es la condición inicial a tomar. Para cada función con un alpha distinto en las seguidas iteraciones al partir de 90º no pasa por un valor en el que se anule la derivada, por lo que no se anula el denominador de mi función de newton en ningún caso.
Entonces un rango adecuado sería: theta entre 0º y 180º

$<tex> \alpha </tex>$ fijo entre 0º y 130º
$<tex> X_o </tex>$ 90º aprox.

Con estas condiciones la función converge y a los valores aceptables del sistema (no puede dar un theta mayor a 180º por límites mismos de la estructura)