Examen Parcial - 75.12. Análisis Numérico

Examen Parcial - 75.12. Análisis Numérico

Cátedra: Morelli
Fecha: Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2006
Día: 23/05/2006

Enunciado

Ejercicio 1

Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
$<tex>\left\{ \begin{array}{ccl}f_1(x,y) & = & x^2+y^2-6 \\f_2(x,y) & = & x \cdot y -2 \end{array}\right.</tex>$

Desarrollar en forma teórica el método de Newton-Raphson para un sistema de n ecuaciones.
Aplicar el método para resolver el sistema dado. Avanzar un paso partiendo de $<tex>x_0=2; y_0=1</tex>$
Plantear una resolución de punto fijo para el sistema.

Ejercicio II

Se quiere realizar el siguiente cálculo:
$<tex>F(a,b)=\frac{a^2-\cos{(a\cdot b)}}{2+\mathrm{sen}(a+b)}</tex>$
Se pide:

Obtener el Cp y el Te
Suponiendo que se trabaja con 8 dígitos de precisión, decir cuál debe ser la cota de los errores relativos de a y b para que el resultado tenga 6 dígitos correctos.
Suponiendo que $<tex>a=1 \pm 0.001</tex>$ y que $<tex>b=0.1 \pm 0.00001</tex>$ y los cálculos se realizane n una grilla con 3 dígitos de precisión. ¿Cuál es la cota del error relativo esperada a F?

Ejercicio III

Dada la función $<tex>f(x)=\mathrm{sen}(x)</tex>$ . Se pide:

Obtener el polinomio interpolador por el método de Newton en los puntos $<tex>x=0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\pi</tex>$ .
¿Cuál debería ser el paso h si se desea realizar interpolación lineal con un error menor o igual al producido por el pòlinomio encontrado en el punto anterior?
Plantee todas las consideraciones necesarias y el sistema de ecuaciones resultante (no resuelva) para obtener las splies cúbicas naturales para las abscisas planteadas en el punto 1.
Implemente computacionalmente el método de Newton.

Resolución

Ejercicio I

Parte 1

Sea $<tex>F(x_1,x_2,\ldots x_n)=\left[\begin{array}{c} f_1(x_1,x_2,\ldots x_n) \\ \vdots \\ f_n(x_1,x_2,\ldots x_n) \end{array} \right]</tex>$

Si $<tex>x+\Delta x</tex>$ es la raíz de $<tex>F(x)=0, x\in \Re^n</tex>$

$<tex>\Rightarrow \quad F(x+\Delta x)=F(x)+J(x)\Delta x \quad \Rightarrow \quad 0=F(x)+J(x)\Delta x</tex>$

$<tex>J(x)\Delta x=-F(x)</tex>$

Puede pensarse un sistema iterativo: $<tex>\left\{ \begin{array}{rcl}J(x^{(k)})\Delta x^{(k+1)} & = & -F(x^{(k)}) \\x^{(k^+1)} & = & x^{(k)}+\Delta x^{(k+1)} \end{array}\right.</tex>$ Partiendo de un $<tex>x^{(0)}</tex>$ arbitrario y hasta que $<tex>\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|=\|\Delta x^{(k+1)}\|<\varepsilon</tex>$ , donde $<tex>\varepsilon</tex>$ es la precisión que se desea obtener.

Parte 2

$<tex>F(x,y)=\left[\begin{array}{c} x^2+y^2-6 \\ x\cdot y-2 \end{array} \right]</tex>$

Para hallar la raíz aploco el sistema iterativo de Newton-Rhapson, para lo que debo calcular $<tex>J(x,y)=\left[\begin{array}{cc} 2x & 2y \\ y & x \end{array} \right]</tex>$ .

$<tex>x^{(0)}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \quad J(x^{(0)})=\left[\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right]\cdot \Delta x^{(1)}= \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right]</tex>$

Resolviendo este sistema se obtiene $<tex>\Delta x^{(1)}= \left[\begin{array}{c} \displaystyle \frac{1}{3} \\ \displaystyle \frac{1}{3} \end{array} \right]</tex>$ . Por lo tanto:

$<tex>x^{(1)}= \left[\begin{array}{c} \displaystyle \frac{7}{3} \\ \displaystyle \frac{4}{3} \end{array} \right]</tex>$

Parte 3

El sistema a resolver puede expresarse como $<tex>F(x,y)=0</tex>$ , entonces puedo plantear una solución de punto fijo $<tex>x^{(k+1)}=x^{(k)}+F(x^{(k)})=0</tex>$ , es decir:

$<tex>\left\{ \begin{array}{rcl}x^{(k+1)} & = & x^{(k)}+(x^{(k)})^2+(y^{(k)})^2-6 \\y^{(k+1)} & = & y^{(k)}+x^{(k)}y^{(k)}-2 \end{array}\right.</tex>$

Entonces: $<tex>\Phi(x,y)=\left[\begin{array}{c} x+x^2+y^2-6 \\ y+x\cdot y-2 \end{array}\right]</tex>$

y $<tex>\Phi</tex>$ es la función de punto fijo tal que $<tex>\Phi(R)=R</tex>$ donde $<tex> R \mbox{ es la ra\'iz de } F(x)=0</tex>$ y $<tex>\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\Phi(x^{(k)})=R</tex>$ .

Ejercicio III

Parte 1

Interpolar por los puntos: $<tex>\begin{array}{||c|c|c|c|c|c||}\hline \hlinex & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} \\\hlinef(x) & 0 & 0.7071 & 1 & 0 & -1 \\\hline \hline \end{array}</tex>$

$<tex>P_4(x)=a_1+a_2(x-0)+a_3(x-0)(x-\frac{\pi}{4})+a_4(x-0)(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})+a_5(x-0)(x-\frac{\pi}{4}) (x-\frac{\pi}{2})(x-\pi)</tex>$

Tabla de diferencias divididas:

$<tex>\begin{array}{c|c|c|c|c|c|}x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline0 & 0 & & & & \\ & & 0.9003 & & & \\\frac{\pi}{4} & 0.7071 & &-0.3358 & & \\ & & 0.3729 & & -0.02948 & \\\frac{\pi}{2} & 1 & & -0.4284 & & 0.02941 \\ & & -0.6366 & & 0.1091 & \\\pi & 0 & & 0 & & \\ & & -0.6366 & & & \\\frac{3\pi}{2} & -1 & & & & \\\hline \end{array}</tex>$

Entonces:

$<tex>P_4(x)=0.4003 x - 0.3358 x(x-\frac{\pi}{4})-0.02948 x(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})+0.02941 x(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})(x-\pi)</tex>$

Parte 2

Primero debemos acotar el error de $<tex>P_4(x)</tex>$

$<tex>f(x)-P_4(x)=\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})(x-\pi)(x-3\frac{\pi}{2})</tex>$

$<tex>f(x)=\mathrm{sen}(x) \quad f^{(5)}(x)=\cos{(x)} \leq 1</tex>$

$<tex>\left| f(x)-P_4(x) \right| \leq \frac{1}{5!} \left( \frac{3}{2}\pi \right) \left( \frac{5}{4}\pi \right) \pi \pi \left( \frac{3}{2}\pi \right)=\frac{45}{5! 16}\pi^5\leq 7.173</tex>$

Para interpolación lineal en un intervalo de paso $<tex>h</tex>$

$<tex>\left| f(x)-P_1(x) \right| \leq \frac{\left| f^{(2)}(\xi) \right| }{2!}\left| (x-x_0)(x-x_0-h)\right| \leq \frac{1}{2!} \left(\frac{2 x_0 +h}{2}\right)=\frac{x_0}{2}+\frac{h}{4}</tex>$

haciendo: $<tex>\frac{x_0}{2}+\frac{h}{4}\leq 7.1723 \Rightarrow h \leq 28.7 </tex>$

Un paso tan grande es inconsistente, pero esto surge de la acotación grosera de $<tex>\left| f(x)-P_4(x) \right| </tex>$ que fue realizada sin el debido análisis.

Parte 3

$<tex>s(x)= \left\{ \begin{array}{ccr}s_1(x)=a_1+b_1 x +c_1 x^2 +d_1 x^3 & \quad & x \in \left[ 0,\frac{\pi}{4} \right) \\s_2(x)=a_2+b_2 x +c_2 x^2 +d_2 x^3 & \quad & x \in \left[ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2} \right) \\s_3(x)=a_3+b_3 x +c_3 x^2 +d_3 x^3 & \quad & x \in \left[ \frac{\pi}{2},\pi \right) \\s_4(x)=a_4+b_4 x +c_4 x^2 +d_4 x^3 & \quad & x \in \left[ \pi,3\frac{\pi}{2} \right) \end{array} \right.</tex>$

Planteo las ecuaciones de continuidad:

$<tex>\begin{array}{lclclcl}s_1(0) & = & f(0) & \quad & s_1(\frac{\pi}{4}) & = & f(\frac{\pi}{4}) \\s_2(\frac{\pi}{4}) & = & f(\frac{\pi}{4}) & \quad & s_2(\frac{\pi}{2}) & = & f(\frac{\pi}{2}) \\s_3(\frac{\pi}{2}) & = & f(\frac{\pi}{2}) & \quad & s_3(\pi) & = & f(\pi) \\s_4(\pi) & = & f(\pi) & \quad & s_4(3\frac{\pi}{2}) & = & f(3\frac{\pi}{2}) \end{array}</tex>$

Y para las derivadas primeras:

$<tex>\begin{array}{rcl} {s'}_1(\frac{\pi}{4}) & = & {s'}_2(\frac{\pi}{4}) \\{s'}_2(\frac{\pi}{2}) & = & {s'}_3(\frac{\pi}{2}) \\{s'}_3(\pi) & = & {s'}_4(\pi) \end{array}</tex>$

Y derivadas segundas:

$<tex>\begin{array}{rcl} {s''}_1(\frac{\pi}{4}) & = & {s''}_2(\frac{\pi}{4}) \\{s''}_2(\frac{\pi}{2}) & = & {s''}_3(\frac{\pi}{2}) \\{s''}_3(\pi) & = & {s''}_4(\pi) \end{array}</tex>$

Y la condición de spline natural:

$<tex>\begin{array}{rcl} {s''}_1(0) & = & 0 \\{s''}_4(3\frac{\pi}{2}) & = & 0 \end{array}</tex>$

Parte 4

Realizar un algoritmo que obtenga los $<tex>a_i</tex>$ del polinomio interpolador de Newton en un vector N.

LEER X, Y, n
PARA i=1...n
  A(i,1)=Y(i)
FIN PARA i
PARA j=2...n
  PARA i=j..n
    A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1))
  FIN PARA i
FIN PARA j
PARA k=1...n
  N(k)=A(k,k)
  IMPRIMIR 'a_',k,'=',N(k)
FIN PARA k
FIN

Discusión

Falta pasar
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