Examen Parcial - 75.12. Análisis Numérico

Cátedra: Griggio
Fecha: Primera Oportunidad - Segundo Cuatrimestre 2007
Día: 31/10/2007
Tema: 1

Dado el siguiente sistema lineal y utilizando una grilla numérica de punto flotante de 3 dígitos con redondeo simétrico. Se pide lo siguiente:

=

1. Hallar la solución del sistema mediante el método de Gauss sin pivoteo. Hallar también la factorización de la matriz . (12 puntos)
2. Utilizando la factorización hallada en el punto anterior, realizar un paso de refinamiento iterativo. (10 puntos)
3. Hallar la solución mediante el método de Gauss con pivoteo parcial por intercambio de filas. (13 puntos)
4. Compare las soluciones halladas en los tres puntos anteriores e indique qué método es más eficaz y porqué. La solución real del sistema es . También indique si puede utilizar los resultados de los primeros dos puntos para estimar . ¿Está bien condicionado el sistema? (10 puntos)

Dada la función , se pide encontrar el cero de que se encuentra en el intervalo :

1. Mediante la función de iteración de punto fijo . (15 puntos)
2. Mediante el método de Newton-Raphson. (15 puntos)

En ambos casos efectúe los cálculos para llegar al punto fijo respectivo con un error absoluto menor que . Verifique si ambas funciones satisfacen las condiciones del Teorema del Punto Fijo. Calcule en ambos casos el orden de convergencia y la constante asintótica del error.

Dadas las siguientes 4 condiciones, se pide hallar el polinomio interpolante de menor grado que las satisface. (25 puntos)

La tabla de diferencias divididas por el método híbrido entre Newton y Hermite:

Verificamos que el polinomio verifique las condiciones:

Derivando obtenemos:

Como vemos, satisface las cuatro condiciones pedidas.

Nota: Como el polinomio interpolador es único, aunque se resuelva por otro método (por ejemplo, Lagrange) debemos obtener el mismo resultado.