Exámen Final - 75.12 Análisis Numérico I [Foros-FIUBA::Wiki]

Exámen Final - 75.12 Análisis Numérico I

Cátedra: Cavaliere - Tarela
Fecha: Segundo cuatrimestre, 2013
Día: 18/12/2013

Resolución

Problema 1

Parte a)

Se plantea el cambio de siguiente cambio de variable:

$<tex>v=\frac{d\theta}{dt} \Rightarrow v'=\frac{d^2\theta}{dt^2} \\v'(0)=0</tex>$

Aplicamos este cambio a la ecucación original, quedando el sistema:

$<tex>\theta '=v \\v'=-\frac{g}{L}\theta</tex>$

Antes de aplicar Euler como se pide, hay que recordar que

$<tex>\frac{d\theta}{dt}=f_\theta (\theta_n ,v_n,t_n) \\\frac{dv}{dt}=f_v (\theta_n ,v_n,t_n)</tex>$

Dicho esto, discretizamos las funciones aplicando Euler:

$<tex>\begin{array}{rcl} \displaystyle v_{n+1} & = & \displaystyle v_n + \Delta x \cdot f_v (\theta_n ,v_n,t_n) \\ & = & \displaystyle v_n + \Delta x \cdot(-\frac{g}{L} \theta_n) \\ & = & \displaystyle v_n - \Delta x \cdot \frac{g}{L} \theta_n \\ \end{array}\\\\\begin{array}{rcl} \displaystyle \theta_{n+1} & = & \displaystyle \theta_n + \Delta x \cdot f_\theta (\theta_n ,v_n,t_n) \\ & = & \displaystyle \theta_n + \Delta x \cdot v_n \\ \end{array}</tex>$

En donde, sin olvidarnos las condiciones iniciales, se cumple que

$<tex>\theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{20} \\v'(0)=v_0=0</tex>$

Parte b)

Si aplicamos un paso de $<tex>\Delta x = 0.05</tex>$ podemos tener una decente aproximación en el séptimo paso. El valor de la derivada en dicho paso es $<tex> v_7 = \frac{d\theta}{dt}(0.35) = -0.8329 </tex>$

NOTA:

Con un paso $<tex> \Delta x = 0.025 </tex>$ la derivada se conoce en el paso catorce y da $<tex> v_{14} = \frac{d\theta}{dt}(0.35) = -0.7662 </tex>$
La solución analítica del problema es $<tex> \theta(t) = \frac{\pi}{20} \cos(2\sqrt{5} \cdot t) </tex>$
y la derivada evaluada en $<tex> t = \frac{\pi}{4\sqrt{5}} \cong 0.351 </tex>$ da $<tex> -0.7025 </tex>$