Examen Final - 75.12. Analisis Numérico I - 01/08/2007
- Enunciado
- Resolución
  - Punto II
- Discusión

2007

Cátedra: Griggio-Navarro / 3
Fecha: Tercera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2007
Día: 01/08/2007

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Enunciado

Punto I

$<tex>y'' = -3y'- 2y +6t + 9\\y(0)=3 \qquad y'(0)=-1\\\\W_{n+1} = W_n + hf(t_n,W_n)</tex>$

Parte A

Transformar la ecuación en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Parte B

Discretizar las ecuaciones obtenidas en la Parte A mediante el método de Euler convenientemente generalizado.

Punto II

$<tex>I = \int_1^7 \ln x \, dx</tex>$

Parte A

Evaluar I usando el método de Simpson compuesto con un error menor a 0,005.

Parte B

Calcular el valor exacto de I y comparar con el resultado de la Parte A y verificar que el error es menor a 0,005.

Punto III

Se desea interpolar con spline cúbica natural una función con 4 nodos. Explicar cuáles son las incógnitas y ecuaciones que completan el problema.

La fórmula del error de discretización para el método es: $<tex>\left| {\frac{{ - h^4 \cdot \left( {b - a} \right)}}{{180}} \cdot f^{(IV)} \left( \xi \right)} \right|</tex>$ .
Como $<tex>f^{(IV)} \left( x \right) = \frac{{ - 6}}{{x^4 }}</tex>$ , resulta $<tex>f^{(IV)} \left( \xi \right) \le \frac{{ - 6}}{{1^4 }} = - 6</tex>$ ya que 1 ≤ ξ ≤ 7.
Pidiendo que $<tex>\Delta = \left| {\frac{{ - h^4 \cdot \left( {7 - 1} \right)}}{{180}} \cdot f^{(IV)} \left( \xi \right)} \right| = \left| {\frac{{ - h^4 \cdot \left( {7 - 1} \right)}}{{180}} \cdot \frac{{ - 6}}{{\xi ^4 }}} \right| = \frac{{h^4 }}{5} \cdot \left| {\frac{1}{{\xi ^4 }}} \right|</tex>$ resulte $<tex>\Delta \le \frac{{h^4 }}{5} \cdot \left| {\frac{1}{{1^4 }}} \right| \le \frac{{h^4 }}{5} \le 0,005</tex>$ y despreciando los errores de redondeo frente a los de truncamiento se puede despejar el paso h, que resulta h≤0,3976353643.
Usando paso h=0,3 es $<tex>n = \frac{{b - a}}{h} = \frac{{7 - 1}}{{0,3}} = 20</tex>$ .
Calculando según la fórmula de Simpson compuesto $<tex>I \approx \frac{h}{3}\left[ {f\left( {x_0 } \right) + 4 \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} {f\left( {x_{2k + 1} } \right)} + 2 \cdot \sum\limits_{k = 1}^{\frac{n}{2} - 1} {f\left( {x_{2k} } \right)} + f\left( {x_n } \right)} \right]</tex>$ , donde $<tex>f\left( x \right) = \ln x</tex>$ resulta $<tex>I \approx {\rm{7}}{\rm{,621290594}}</tex>$ .

Parte B

En forma exacta es: $<tex> I = \int_1^7 {\ln x\,dx} = \left. {\left[ {x\ln x - x} \right]} \right|_1^7 = 7 \cdot \ln 7 - 6 = {\rm{7}}{\rm{,621371043}}</tex>$ .
Se comprueba que resulta una diferencia recién en el 4º dígito decimal.

Discusión

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