70.03 Medios de Representación "A" - Trabajo Práctico - Figuras Planas y Cuerpos

Período: 1er Cuatrimestre 2007

Alumno: García Mendive, Iñaki

Datos:

1. Encontrar y trazar por él : El ángulo entre el plano del que pende la tuerca y el plano es . Éste ángulo es, también, el que forma con . Trazamos entonces una recta a de ésta última, y luego una paralela a por . Allí se encontrará , y la distancia será la altura del punto con respecto a (el eje de abatimiento elegido es , con lo cual todas las alturas están medidas desde ). Trasladamos esta distancia, sobre una vertical trazada por , y a partir de . Hemos encontrado así , y tenemos entonces ahora dos puntos conocidos por los que pasa : y el punto intersección de con (sabemos que son coplanares, por lo tanto se intersecan). Subiendo la icnografía de este punto de intersección hasta , y uniéndolo con tenemos finalmente .
2. Obtener el hexágono que es abatimiento de la tuerca sobre el icnográfico: Se continúa el principio de abatimiento que se hizo al obtener . Para ello se gira con el compás, con centro en la intersección de con y extremo en . Sobre la prolongación de (que es ), en la intersección con el arco recién trazado, se encuentra . Con centro en él y radio , se traza la circunferencia circunscritora del hexágono. Sobre cualquier punto de la misma (por comodidad, sobre la intersección de ésta con ), se posiciona el compás y se trazan dos segmentos de arco que la corten. Se han encontrado, en este sencillo acto, cuatro vértices del hexágono: el punto de apoyo del compás (), el punto diametralmente opuesto a éste (), y los dos generados por este último giro del compás ( y ). Y ahora, como sucederá también más adelante, estamos en una disyuntiva: o bien posicionamos el compás en , y obtenemos y mediante un giro (como recién), o bien trazamos por y por una paralela a , encontrando en su intersección con la circunferencia a y , respectivamente. De una forma u otra, una vez encontrados los seis vértices, se puede trazar el hexágono. Ahora dibujemos la circunferencia interior al mismo, de radio .
3. Obtener la icnografía de la tuerca: Para esto podemos desabatir los seis vértices encontrados uno a uno, o bien podemos sacar provecho de la afinidad (caso particular de homología) existente la icnografía del plano de la tuerca, y su abatimiento. Como no viene nada mal practicarlo, y además es bastante cómodo, aplicaremos este último método. Primero prolongamos las aristas y más allá de (obteniéndose los relevamientos¹⁾ de estas aristas). Luego unimos con , y prolongamos este segmento hasta que corte al eje de homología (). Allí encontramos , al cual unimos con , para, mágicamente,²⁾ hallar y en la intersección de con la prolongación de y de , respectivamente. Luego unimos con , y prolongamos este segmento hasta que corte al eje de homología (). Allí encontramos , al cual unimos con , para hallar y en la intersección de con la prolongación de y de , respectivamente. Para hallar , lo relevamos³⁾: haciendo centro con el compás en la intersección de con y tomando como extremo a , giramos en sentido antihorario hasta cortar a . Por esa intersección trazamos una paralela a , y donde ella corta a tenemos a . Para hallar , con centro en y extremo en , trazamos un arco que corte a . Esta intersección es . Uniendo los seis vértices, se puede trazar el hexágono.
   En cuanto a la elipse, el semidiámetro mayor, paralelo a , se encuentra trazando, justamente, una paralela a por y otra por . Por cada uno de los dos puntos donde esta última corta a la circunferencia menor, se traza una paralela a , hasta que corten a la paralela a trazada por . Queda así determinado el semidiámetro mayor. En cuanto al menor, se mide, sobre y a partir de , el radio de la circunferencia menor (). Por el punto recién obtenido, se traza una paralela a , hasta cortar a . Sobre se ha determinado, entonces, un semiradio. El otro semiradio se obtiene trasladando la longitud del susodicho semiradio hacia el otro lado de . En cuanto a la elipse, desde ya que se pueden emplear cualquiera de los métodos explicados para la lámina de Cónicas. Sin embargo, ya que aplicar homología no viene mal para el parcial/final y es muy cómodo, vamos a hacerlo de ese modo. Empecemos trazando una recta horizontal y otra vertical por el centro de la circunferencia que es homóloga de la elipse que queremos trazar. Obtenemos entonces cuatro puntos, cuyos correspondientes en la elipse queremos encontrar. Ello se puede hacer (como anteriormente, para los vértices del hexágono), mediante segmentos que unan a dichos puntos con otros ya conocidos, y donde dichos segmentos cortan al eje de homología, trazar los homólogos de estos segmentos, y en la intersección de estos homólogos con perpendiculares a , encontrar cuatro puntos de la elipse. Hasta ahora, sin embargo, la homología no parece presentar mucha más comodidad que, por ejemplo, el método de los ocho puntos. Sin embargo, a la hora de encontrar tangentes a los puntos hallados,⁴⁾ el método es muy sencillo y requiere trazar muy pocas rectas, con lo cual el dibujo no se sobrecarga de líneas. En efecto, como hemos trazado un segmento vertical que corta a la circunferencia, la tangente a dicha circunferencia en los dos puntos hallados es horizontal. En el caso del segmeto vertical, las tangentes a la circunferencia en los otros dos puntos, es vertical. Esas cuatro rectas tangentes deben ser prolongadas, desde la circunferencia hasta el eje de homología, y desde dicho eje hasta el punto que le corresponda a cada una. Podemos trazar así, con gran comodidad, la elipse de diámetros principales de la icnografía de la tuerca.
   Ahora sólo resta 'dar volumen' a esta figura plana. Para ello, debemos repetir la icnografía ya encontrada, pero desplazada en cierta dirección, y a cierta distancia. ¿Cuál es esa dirección? Bueno, sabemos que la tuerca pende de un cierto plano, dado por y . También sabemos que la tuerca es recta, o sea, que el ángulo entre el plano de su base y el plano de su lado, es . Entonces, podemos concluir que la dirección en la que debemos 'repetir' la figura plana de la cara de la tuerca, es la dirección normal al plano. En cuanto a la distancia, en los datos figura: . Sin embargo, la normal al plano pasante por (que en icnografía coincide con ) no está en verdadera magnitud. Deberíamos entonces abatirla, o girarla, o cambiar de planos, pero no lo haremos. No la abatiremos, porque a los fines prácticos, ya la tenemos abatida: es lo mismo medir distancias sobre que hacerlo sobre , pues el ángulo entre ellas es y los puntos se abaten y se relevan en una dirección que es bisectriz de dicho ángulo, en una dirección paralela a . Medimos, entonces, los sobre : y resulta que dicho segmento ya está determinado: es el segmento que ha quedado luego de, primero, relevar , y segundo, medir (medida del semiradio menor).⁵⁾. Ahora que hemos encontrado la distancia en verdadera magnitud, la llevamos a su magnitud aparente en icnografía, trasladamos esta última distancia, en la dirección de (que es la misma que la de ), y alejándonos de ⁶⁾. La trasladamos a los vértices , y a todos los (cuatro) puntos de la elipse que se encuentran entre y la paralela a trazada por . Unimos los nuevos vértices encontrados, mediante segmentos, y por los cuatro puntos trasladados de la nueva semielipse, trazamos las curvas pertinentes pero sólo hasta su intersección con la elipse primera. Luego de un extenso proeso, hemos completado la icnografía de la tuerca.
4. Obtener la ortografía de la tuerca: En esta última parte (que, no se asuste lector, no será tan larga como la anterior), simplemente subiremos los puntos ya hallados en icnografía, con ayuda de la ortografía de rectas cuya traza sobre ya tenemos. No es tan complicado como suena (esperemos). Para empezar, tenemos dos rectas, paralelas a , que contienen, la primera a y a , y la segunda a y . De estas dos rectas, tenemos su icnografía, y encontrar su ortografía no debe ser muy difícil, ya que si son, como suponemos, paralelas a ⁷⁾, sus ortografías deben serlo a . Necesitamos, además de esto, un punto por el cual trazar estas ortografías. Pues bien, si subimos las intersecciones con de la icnografía (que ya tenemos) de cada una de estas dos rectas, a , estará solucionado el problema. Ahora que tenemos entonces estas tres rectas paralelas en icnografía, podemos (ya podíamos antes, en realidad, bastaba tener ) subir y , y (cosa que antes no podíamos) también . Con celeridad hemos obtenido pues la cara de la tuerca. En cuanto a la elipse de diámetros conjugados que tendrá como centro a , un semidiámetro puede ser subido a desde su correspondiente sobre , y el otro puede ser subido a una paralela a pasante por , desde una paralela a pasante por . . Y en este caso, para encontrar cuatro puntos más de esta elipse, empleamos el método de los ocho puntos.
   Ahora, finalmente, para 'dar volumen' a la ortografía de la tuerca, debemos trasladar una cierta distancia en la dirección de . Dicha distancia puede ser obtenida subiendo el segmento ya encontrado para la icnografía (que se encuentra sobre ), o, lo que es lo mismo, trazando una paralela a por , y subiendo sobre ella , desde . El lector se preguntará: ¿cuál es la dirección de ? Pues bien, es perpendicular a la ortografía de una frental cualquiera del plano. En este caso, hemos tomado una frental , cuya icnografía (para no agregar líneas innecesariamente) hemos hecho coincidir con la ortografía de , y cuya ortografía se determina con los siguientes dos puntos: la intersección de con (que coincide con la intersección de con ), y la intersección de con la paralela que pasa por y por . Así entonces, encontramos esa distancia en la dirección normal, proyección sobre de la distancia verdadera de , y la trasladamos a: los puntos ,⁸⁾ y los puntos de la elipse que se encuentran entre la diagonal más parecida al segmento y . A los puntos los unimos mediante segmentos. A los puntos obtenidos de la nueva semielipse, mediante arcos elípticos (iguales a los arcos correspondientes de la elipse anterior), pero sólo hasta su intersección con los arcos de la elipse anterior. Hemos completado finalmente la ortografía de la tuerca, y con ello, la lámina.