70.03 Medios de Representación "A" - Trabajo Práctico - Empalmes

Período: 1er Cuatrimestre 2007

Alumno: García Mendive, Iñaki

Datos: (ver hoja de datos)

Recomendación para hacer el trazado definitivo en esta lámina: a los fines de lograr un trazado definitivo del mismo tono y grosor en toda la lámina, conviene priorizar ciertos elementos sobre otros. Por empezar, en las circunferencias resulta más difícil lograr un trazado uniforme que en las rectas. Por ello, siempre conviene trazar primero las circunferencias, y una vez que éstas han sido bien delineadas, proceder a trazar las rectas. En cuanto a cuáles circunferencias trazar primero y cuáles después, no es indistinto: resultan particularmente difíciles las circunferencias de radios menores, por ello es juicioso trazarlas primero a éstas que a las de radios mayores.

1. Tangentes a una circunferencia: tenemos el punto , y a una distancia de él, el punto , centro de una circunferencia de radio . Para encontrar las tangentes a esta circunferencia por debemos trazar otra circunferencia , de radio cuyo centro es el punto medio del segmento . Los puntos y donde ambas circunferencias se cortan son los puntos de tangencia que buscábamos. Por cada uno de ellos, y por , trazamos las dos tangentes que necesitábamos.
   Este método se justifica por el teorema del arco capaz, también conocido como el teorema del ángulo inscrito o teorema de tales. Sucintamente, y a los efectos prácticos de este ejercicio, el teorema dice: dados dos puntos ( y ) diametralmente opuestos de una circunferencia (), los dos segmentos que unen a estos dos puntos con un tercero de la circunferencia forman . Ahora bien, ¿cómo sabemos qué tercer punto de la circunferencia tomar, de manera de obtener las tangentes a ? Pues bien, los segmentos y son radios de , y simultáneamente y pertenecen a : por tanto, los segmentos y resultan normales respectivamente a y a , siendo por ello tangentes a la circunferencia dada.
2. Tangentes exteriores: tenemos el punto , centro de una circunferencia de radio ; y a una distancia de él, el punto , centro de otra circunferencia , de radio . Ahora imaginemos lo siguiente: que el radio y el radio comienzan a decrecer a igual velocidad, hasta que uno de ellos (en este caso, ) se hace cero. El otro () resulta la diferencia entre ambos radios. ¿En qué se han convertido esas dos tangentes exteriores que buscábamos? Bueno, si uno lo mira fijo, puede notar una cierta similitud entre éste ejercicio y el anterior: se ha convertido en análogo del , y el (valga la redundancia) en análogo del . ¿Qué podemos concluir, entonces? Que las tangentes que buscamos son paralelas a estas otras dos tangentes. Más aún, conocemos el método para encontrar estas otras dos tangentes que han resultado del decrecimiento de los radios. Encontrémolas, pues. Volviendo al dibujo, tracemos, con centro en una circunferencia de radio igual (que viene siendo igual a ). Luego, trazamos otra circunferencia , con centro en el punto medio de y radio . La intersección de estas dos circunferencias nos define dos puntos de tangencia de (llamémoslos y , como a los del ejercicio anterior) ¹⁾. Si ahora prolongamos el segmento y el hasta tenemos los puntos de tangencia de la misma. Ahora, trazando dos segmentos, respectivamente paralelos a y a , por tenemos los otros dos puntos de tangencia que necesitábamos, sobre la segunda circunferencia (). Podemos ahora, finalmente, trazar las tangentes exteriores que buscábamos.
3. Tangentes interiores: tenemos el punto , centro de una circunferencia de radio ; y a una distancia de él, el punto , centro de otra circunferencia , de radio . El procedimiento en este caso es análogo al aplicado en los casos anteriores, aunque en éste quizá eso no sea tan explícitamente así. Para empezar, usemos nuestra imaginación nuevamente, como en la vez anterior: queremos las tangentes interiores a ambas circunferencias. Por ello, imaginemos que el radio de la primera circunferencia decrece con la misma rapidez con la que el radio de la segunda circunferencia crece , hasta que la aquélla se convierte en un punto. El problema se habría reducido (como habíamos imaginado en el caso anterior) entonces a resolver el primer ejercicio, y las tangentes que buscamos no son sino paralelas a estas dos nuevas tangentes: tangentes a una circunferencia de radio igual a que pasan por el punto . Hallémoslas: tracemos esa circunferencia de centro y radio , y otra , con centro en el punto medio de y radio también igual a . Los puntos de intersección entre ambas (llamémoslos, en un rapto de inspiración, y ) ²⁾ serán (junto con ) los puntos de paso de dos tangentes a la circunferencia . Paralelas respectivamente a esas dos tangentes serán las que buscábamos en un principio. Donde los segmentos y cortan a la circunferencia tenemos los puntos de tangencia a la misma. Para : trazamos una paralela a por , pero del otro lado del segmento (mirando la lámina terminada se entiende mejor esta última frase). Del mismo modo se traslada una paralela a . Las intersecciones de estos dos últimos segmentos con determinan los dos puntos de tangencia que nos restaban.
4. Tres curvas: tenemos el punto , centro de una circunferencia de radio ; y a una distancia de él, el punto , centro de otra circunferencia , de radio . El objetivo ahora es hallar el centro de una circunferencia que sea simultáneamente tangente a y a . Sabemos, por lo pronto, que el radio de dicha circunferencia es . Este problema, no lo es tanto quizás, es más bien un ejercicio pues su resolución, como se verá, es harto sencilla. Tracemos, con centro en , una nueva circunferencia de radio ; y con centro en , otra nueva circunferencia de radio . Los dos puntos que pertenecen a son las dos posibles soluciones a este ejercicio.
5. Curva y rectas: este último ejercicio no presenta mayores dificultades en cuanto a su resolución. Se tienen dos rectas, inclinadas una respecto de la otra, y se las quiere empalmar mediante un arco de circunferencia de radio . Para ello, a cada una de las dos rectas se le traza una paralela a una distancia igual al radio dado. La intersección de estas dos paralelas da el punto buscado, centro de la circunferencia cuyo arco buscamos. Lo que nos falta, encontrar los puntos de tangencia de para así delimitar el arco, no es difícil: por tracemos una normal a cada paralela. Donde las normales cortan a las rectas originales correspondientes, se tienen los dos puntos de tangencia buscados, y se pueden empalmar con suma belleza y gracia las susodichas rectas.