Examen Parcial - 70.03. Medios de Representación "A" - 29/06/2007

2007

Cátedra: Curso 002 — Botet – Sande – Vergez
Fecha: 1° Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2007
Día: 29/06/2007

Enunciado

Datos:

$<tex>\mbox{Piramide apoyada en } \alpha(\alpha_1, \alpha_2), \mbox{ base cuadrada.}</tex>$
$<tex>(\overline{AB}):\mbox{ lado base}</tex>$ .
$<tex>(h)=3(\overline{AB})</tex>$ .
Hoja de Datos (en formato dwg)

Hallar:

$<tex>\mbox{Proyecciones de la piramide. Visibilidad}</tex>$ .
$<tex>\mbox{Seccion con }\beta</tex>$ .

Resolución

Hallar la icnografía de $<tex>\overline{\mathbf{AB}}</tex>$ : Para ello prolongamos el segmento $<tex>\overline{AB}</tex>$ hasta la línea de tierra, y bajamos ese punto ( $<tex>H''_{AB}</tex>$ ) hasta $<tex>\alpha_1</tex>$ para hallar $<tex>H'_{AB}</tex>$ . Necesitamos otro punto de la icnografía. Entonces trazamos una horizontal del plano pasante por $<tex>A</tex>$ ( $<tex>h_A</tex>$ ), y en la intersección de $<tex>h'_A</tex>$ con una vertical trazada por $<tex>A''</tex>$ tenemos $<tex>A'</tex>$ . Por allí, y partiendo de $<tex>H'_{AB}</tex>$ , trazamos $<tex>\overline{AB}</tex>$ , sobre la cual encontramos $<tex>B'</tex>$ del mismo modo que lo hicmos para $<tex>A'</tex>$ .
Hallar la icnografía del cuadrado que es base de la pirámide: Para ello haremos uso de un abatimiento de $<tex>\overline{AB}</tex>$ sobre el icnográfico, eligiendo como eje a $<tex>h'_A</tex>$ . $<tex>A'</tex>$ coincidirá pues con $<tex>(A)</tex>$ . En cuanto a $<tex>B</tex>$ , medimos su altura respecto de $<tex>h_A</tex>$ , en definitiva, la de $<tex>B''</tex>$ respecto de $<tex>h''_A</tex>$ . Luego, para encontrar $<tex>((O))</tex>$ , medimos dicha distancia sobre $<tex>h''_A</tex>$ y a partir de $<tex>B'</tex>$ en uno cualquiera de los dos sentidos posibles. Trazamos una perpendicular a $<tex>h'_A</tex>$ pasante por $<tex>B'</tex>$ , y en la intersección de ambas clavamos el compás. Con extremo en $<tex>((O))</tex>$ , trazamos un arco de circunferencia, hasta cortar a esa perpendicular más allá de $<tex>h'_A</tex>$ . Hemos encontrado $<tex>(B)</tex>$ , y uniéndolo con $<tex>(A)\equiv A'</tex>$ obtenemos $<tex>\overline{(AB)}</tex>$ . Ahora sólo debemos trazar un cuadrado de lado $<tex>(\overline{AB})</tex>$ . Para relevar $<tex>\overline{(DB)}</tex>$ , lo prolongamos hasta el eje, y por esta intersección y por $<tex>B'</tex>$ trazamos $<tex>\overline{D'B'}</tex>$ hasta que intersecte a una perpendicular al eje pasante por $<tex>(D)</tex>$ . Acabamos de encontrar $<tex>D'</tex>$ , y para terminar con esta parte de la resolución, trazamos otra perpendicular a $<tex>h'_A</tex>$ , pero pasante por $<tex>(C)</tex>$ , y trazamos también una paralela a $<tex>\overline{A'B'}</tex>$ pasante por $<tex>D'</tex>$ . En la intersección de ambas tenemos $<tex>C'</tex>$ , y podemos por fin completar con segmentos la icnografía de la base de la pirámide. Si hasta ahora hemos hecho todo correctamente, $<tex>\overline{B'D'}</tex>$ debería ser paralela a $<tex>\overline{A'C'}</tex>$ .¹⁾
Hallar la ortografía del cuadrado que es base de la pirámide: Para subir $<tex>C'</tex>$ utilizamos una frental $<tex>f_C</tex>$ perteneciente a $<tex>\alpha</tex>$ y pasante por $<tex>C</tex>$ , y en la intersección de $<tex>f''_C</tex>$ con una vertical trazada por $<tex>C'</tex>$ hallamos $<tex>C''</tex>$ .²⁾ Para subir $<tex>D'</tex>$ hacemos uso de una horizontal $<tex>h_D</tex>$ perteneciente a $<tex>\alpha</tex>$ y pasante por $<tex>D</tex>$ , y en la intersección de $<tex>h''_D</tex>$ con una vertical trazada por $<tex>D'</tex>$ hallamos $<tex>D''</tex>$ . Completamos la ortografía con segmentos, controlando que $<tex>\overline{A''B''}</tex>$ sea paralelo a $<tex>\overline{C''D''}</tex>$ , y que $<tex>\overline{A''C''}</tex>$ sea paralelo a $<tex>\overline{B''D''}</tex>$ . Como en la próxima sección habremos de necesitar al centro $<tex>O</tex>$ de la base piramidal, antes de terminar ésta, lo hallaremos: trazamos dos diagonales del cuadrilátero $<tex>A''B''C''D''</tex>$ y en su intersección encontramos $<tex>O''</tex>$ . Por él bajamos una vertical hasta que intersecte a la diagonal $<tex>\overline{A'D'}</tex>$ y entonces encontramos a $<tex>O'</tex>$ .
Completar la Pirámide: Primero debemos trazar la normal $<tex>n(n',n'')</tex>$ al plano $<tex>\alpha</tex>$ pasante por $<tex>O(O',O'')</tex>$ . Una vez hecho esto, tenemos que hacer una de tres cosas (abatir, girar o cambiar de planos) para poder medir sobre $<tex>n</tex>$ la altura que es $<tex>3(\overline{AB})</tex>$ . Por comodidad, giraremos la normal en torno a un eje perpendicular al plano icnográfico: primero, elegimos un punto $<tex>P(P',P'')</tex>$ cualquiera perteneciente a $<tex>n</tex>$ , y con extremo en $<tex>P'</tex>$ , apoyando el compás en $<tex>O'</tex>$ , trazamos un arco de circunferencia en sentido horario hasta intersectar a una horizontal trazada por $<tex>O'</tex>$ . Esta horizontal es, en realidad, $<tex>n'_g</tex>$ , y la intersección que acabamos de encontrar viene siendo $<tex>P'_g</tex>$ . Por este punto levantamos una vertical, y por $<tex>P''</tex>$ una horizontal: donde se intersectan está $<tex>P''_g</tex>$ . Uniendo este punto con $<tex>O''</tex>$ tenemos $<tex>n''_g</tex>$ . Sobre ella encontramos $<tex>V''_g</tex>$ , a una distancia $<tex>3(\overline{AB})</tex>$ de $<tex>O''</tex>$ , siendo $<tex>V</tex>$ el vértice de la pirámide. A $<tex>V''</tex>$ se lo encuentra simplemente en la intersección de $<tex>n''</tex>$ con una horizontal trazada por $<tex>V''_g</tex>$ . A $<tex>V'</tex>$ se lo encuentra también facilmente, en consecuencia, en la intersección de $<tex>n'</tex>$ con una vertical trazada por $<tex>V''</tex>$ .³⁾ Ahora que tenemos $<tex>V'</tex>$ , la icnografía de la pirámide se puede competar uniéndolo con $<tex>A',\ B',\ C'\ y\ D'</tex>$ . Y ahora que tenemos $<tex>V''</tex>$ , la ortografía piramidal se puede completar uniéndolo con $<tex>A'',\ B'',\ C''\ y\ D''</tex>$ .
En lo que a visibilidad respecta, los contornos aparentes icnográfico y ortográfico son desde ya visibles: $<tex>\overline{V'D'},\ \overline{D'C'},\ \overline{C'B'}\ y\ \overline{B'V'}</tex>$ , y $<tex>\overline{A''V''},\ \overline{V''D''},\ \overline{D''B''}\ y\ \overline{B''A''}</tex>$ . Los únicos segmentos conflictivos son entonces: (en icnografía) $<tex>\overline{V'A'},\ \overline{A'C'}\ y\ \overline{A'B'}</tex>$ , y (en ortografía) $<tex>\overline{V''C''},\ \overline{C''A''}\ y\ \overline{C''D''}</tex>$ . Para la icnografía es preciso observar que: si la elevación de $<tex>A</tex>$ es mayor que la de $<tex>D</tex>$ , $<tex>A'</tex>$ será visible, y viceversa. Concluimos entonces (con sólo mirar la ortografía) que $<tex>A'</tex>$ es invisible. Para la ortografía es menester observar que: si el alejamiento de $<tex>C</tex>$ es mayor que el de $<tex>B</tex>$ , $<tex>C''</tex>$ será visible, y viceversa. Concluimos entonces (con sólo mirar la icnografía) que $<tex>C''</tex>$ es invisible. Si hasta ahora hemos hecho todo bien, nuestra nota es un 4 (cuatro).
Obtener la sección con $<tex>\mathbf{\beta}</tex>$ : Como $<tex>\beta</tex>$ es paralelo al plano ortográfico, id est, proyectante sobre el icnográfico, la icnografía de la sección coincidirá con $<tex>\beta_1</tex>$ y será un segmento limitado por $<tex>\overline{V'B'}</tex>$ y por $<tex>\overline{V'C'}</tex>$ . A las intersecciones de ese segmento con $<tex>\overline{V'A'},\ \overline{V'B'},\ \overline{V'C'}\ y\ \overline{V'D'}</tex>$ las podemos subir a $<tex>\overline{V''A''},\ \overline{V''B''},\ \overline{V''C''}\ y\ \overline{V''D''}</tex>$ , respectivamente, obteniendo el cuadrilátero que es ortografía de la sección de la pirámide con el plano $<tex>\beta</tex>$ dado. En lo que respecta a la visibilidad del mismo, $<tex>\overline{1''2''}\ y\ \overline{1''3''}</tex>$ no serán visibles pues se encuentran sobre caras invisibles del cuerpo en cuestión, mientras que (por una razón análoga) sí son visibles los segmentos $<tex>\overline{4''2''}\ y\ \overline{4''3''}</tex>$ .

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.

¹⁾ Nótese pues que podríamos haber procedido al revés, haber trazado una paralela a $<tex>\overline{B'D'}</tex>$ por $<tex>D'</tex>$ , y hacer este control con ayuda de una paralela a $<tex>\overline{A'B'}</tex>$

²⁾ Después de tantas escrituras y borradas, al final olvidé poner nomenclatura a $<tex>C''</tex>$ , pero creo que aún se notan las marcas de escrituras anteriores.

³⁾ A modo de control se puede trazar una vertical por $<tex>V''_g</tex>$ hasta cortar a $<tex>n'_g</tex>$ , luego un arco de circunferencia con centro en $<tex>O'</tex>$ y extremo en $<tex>V'</tex>$ hasta cortar a $<tex>n'_g</tex>$ , y ver que ambas intersecciones coincidan.