Parcial - 66.74. Señales y Sistemas
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Resolución
  - Punto I
- Discusión

Parcial - 66.74. Señales y Sistemas

Cátedra: Todas
Fecha: 2da Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2007
Día: 11/06/2007

Sea un sistema $<tex>LTI</tex>$ cuya respuesta al impulso es una dada $<tex>h_0(t)</tex>$ , y que para una entrada particular $<tex>x_0(t)</tex>$ (acotada) su salida es $<tex>y_0(t)</tex>$ como se muestra en el siguiente gráfico:

A continuación se da unl listado de casos de entradas, $<tex>x(t)</tex>$ , y sistemas $<tex>LTI</tex>$ determinados por su correspondiente respuesta al impulso, $<tex>h(t)</tex>$ :

$<tex>x(t) = 2 x_0(t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)</tex>$ .
$<tex>x(t) = x_0(t) - x_0(t - 2)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)</tex>$ .
$<tex>x(t) = x_0(t - 2)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t + 1)</tex>$ .
$<tex>x(t) = 2 x_0(-t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)</tex>$ .
$<tex>x(t) = 2 x_0(-t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(-t)</tex>$ .
$<tex>x(t) = x_0(t) \cos(\pi t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)</tex>$ .
$<tex>x(t) = x_0(t) e^{j\pi t}</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t) e^{j \pi t}</tex>$ .

Se pide para cada uno de los casos anteriores, determinar si hay información suficiente para encontrar la salida $<tex>y(t)</tex>$ correspondiente, y en caso de que la haya, graficar dicha salida, indicando sus valores relevantes.

Punto II

Cuando la entrada a un sistema $<tex>LTI</tex>$ causal es:

$<tex>x(n) = -\frac{1}{3}\left( \frac{1}{2} \right)^n u(n) - \frac{4}{3} 2^n u(-n-1)</tex>$

la transformada Z de la salida es:

$<tex>Y(z) = \frac{1+z^{-1}}{(1-z^{-1})\left(1- \frac{1}{2}z^{-1}\right)(1-2z^{-1})}</tex>$

¿Cuál es la región de covergencia de $<tex>Y(z)</tex>$ ?
Encontrar la respuesta al impulso $<tex>h(n)= z^{-1}\left\{\frac{Y(z)}{X(z)}\right\}</tex>$ del sistema. ¿Es estable?
Encontrar la ecuación en diferencias que representa a este sistema indicando la condición inicial.

Punto III

La señal $<tex>x(t) = a_0 + a_l cos(\omega_0 t) + a_2 cos(2\omega_0 t)</tex>$ es muestreada con una frecuencia de muestreo dada por $<tex>\omega_s = \omega_0</tex>$ , obteniéndose de este modo una señal de tiempo discreto $<tex>x_d(n)</tex>$ .

Encuentre la expresión de $<tex>x_d(n)</tex>$ y de su tranformada de Fouríer, $<tex>X_d(\Omega)</tex>$ . Graficar el espectro encontrado, indicando puntos relevantes y amplítudes. ¿Es $<tex>x_d(n)</tex>$ periódica (justifique su respuesta)?
Sea ahora $<tex>x_v(n) = x_d(n)</tex>$ para $<tex>n = 0 ,\dots ,4</tex>$ y 0 en el resto. Se obtiene la $<tex>DFT</tex>$ de 5 puntos de dicha señal, obteniéndose $<tex>X_v(k) =[5 \ 2 \ 3 \ a \ b]</tex>$ .Encontrar los valores de $<tex>a</tex>$ , $<tex>b</tex>$ y de $<tex>a_0</tex>$ , $<tex>a_1</tex>$ y $<tex>a_2</tex>$ ·

Resolución

Punto I

1. $<tex>x(t) = 2 x_0(t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)\Rightarrow y(t)=x(t)*h(t)= 2x_0(t)*h_0(t)=2y_0(t)</tex>$

2. $<tex>x(t) = x_0(t) - x_0(t - 2); h(t) = h_0(t)</tex>$

$<tex>y(t) = x(t)*h(t)= (x_0(t) - x_0(t - 2))*h_0(t)=x_0(t)*h_0(t) - x_0(t)*\delta(t-2)*h_0(t) </tex>$

$<tex>y(t) = y_0(t) - y_0(t)*\delta(t-2)= y_0(t) - y_0(t-2)</tex>$

3. $<tex>x(t) = x_0(t - 2)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t + 1)</tex>$ .

$<tex>y(t) = x(t)*h(t)= x_0(t - 2)*h_0(t+1)=x_0(t)*\delta(t-2)*h_0(t)*\delta(t+1) </tex>$

$<tex>y(t) = x_0(t)*h_0(t)*\delta(t-1)= y_0(t-1)</tex>$

4. $<tex>x(t) = 2 x_0(-t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)</tex>$ .

Es este caso para encontrar $<tex>y(t)</tex>$ se deberían conocer $<tex>x_0(t)</tex>$ e $<tex>y_0(y)</tex>$ .

5. $<tex>x(t) = 2 x_0(-t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(-t)</tex>$ .

$<tex>Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)= 2X_0(-\omega)H_0(-\omega)</tex>$

Sea $<tex>\omega_1=-\omega</tex>$ : $<tex>Y(\omega)=2X_0(\omega_1)H_0(\omega_1)=2Y_0(\omega_1)=2Y_0(-\omega)</tex>$

$<tex> \Longrightarrow y(t)=2y_0(-t)</tex>$

6. $<tex>x(t) = x_0(t) \cos(\pi t)</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t)</tex>$ .

$<tex>Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)=\frac{1}{2\pi}\{X_0(\omega)*[\pi(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi))]\}H_0(\omega)</tex>$

$<tex>Y(\omega)=\frac{1}{2}(X_0(\omega-\pi)+X_0(\omega+\pi))H_0(\omega)=\frac{1}{2}(X_0(\omega-\pi)H_0(\omega)+X_0(\omega+\pi)H_0(\omega))</tex>$

Antitransformando:

$<tex>y(t)=\frac{1}{2}\left(e^{j\pi t}x_0(t)h_0(t)+e^{-j\pi t}x_0(t)h_0(t)\right)=y_0(t)\left(\frac{e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}}{2}\right)=y_0(t)cos(\pi t)</tex>$

7. $<tex>x(t) = x_0(t) e^{j\pi t}</tex>$ ; $<tex>h(t) = h_0(t) e^{j \pi t}</tex>$ .

Es este caso para encontrar $<tex>y(t)</tex>$ se deberían conocer $<tex>x_0(t)</tex>$ e $<tex>y_0(y)</tex>$ .

Discusión

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