Parcial - 66.74. Señales y Sistemas
- Enunciado
- Resolución
- Discusión

Parcial - 66.74. Señales y Sistemas

Cátedra: Todas
Fecha: 1er Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2007
Día: 28/05/2007

Para el sistema que se muestra en la figura siguiente:

en el cual $<tex> H(\omega)=\left\{ \begin{array}{ll} T_S & \mbox{si } |\omega|<\omega_C \\ 0 & resto \end{array} \right.</tex>$ es un filtro pasabajos ideal y $<tex>x(t)</tex>$ es una señal de banda limitada en $<tex>\omega_M</tex>$ . Se pide:

Encontrar las transformadas de Fourier de las señales $<tex>p_1(t)</tex>$ y $<tex>p_2(t)</tex>$ y graficarlas, indicando amplitudes y puntos relevantes.
Encontrar las transformadas de Fourier de las señales $<tex>x1(t)</tex>$ , $<tex>x2(t)</tex>$ y $<tex>f(t)</tex>$ para una $<tex>x(t)</tex>$ genérica que cumpla la especificación pedida.
Cuál es el valor (o rango de valores) que puede tomar $<tex>\omega_M</tex>$ para que $<tex>x(t)</tex>$ pueda ser recuperado a partir de $<tex>f(t)</tex>$ ?
Cuál es el valor que debe tomar $<tex>\omega_C</tex>$ del filtro $<tex>H(\omega)</tex>$ para que $<tex>x(t) = y(t)</tex>$ ? Dibujar $<tex>F(\omega)</tex>$ para dicho caso (considere que se cumple lo especificado en el punto anterior).

Punto II

Sea un sistema $<tex>LTI</tex>$ definido por su respuesta en frecuencia $<tex>H(\Omega) = \left( \frac{1}{2} + \cos(4\, \Omega)\right) e^{-j4\Omega}</tex>$ , cuya entrada es la secuencia $<tex>x(n) = 1</tex>$ , $<tex>n = 1, \dots , 7</tex>$ y cero para todo otro $<tex>n</tex>$ . Se pide

Determinar la salida $<tex>y(n)</tex>$ del sistema y graficarla.
Hallar $<tex>X(k)</tex>$ , la $<tex>DFT</tex>$ de $<tex>x(n)</tex>$ , y $<tex>H(k)</tex>$ una secuencia tal que $<tex>y(n)</tex>$ sea igual a la $<tex>IDFT</tex>$ de ( $<tex>X(k)\cdot H(k)</tex>$ ),justificando la cantidad elegida de puntos de $<tex>DFT</tex>$ . Graficar $<tex>|X(k)|</tex>$ , $<tex>|H(k)|</tex>$ y $<tex>|Y (k)| = |X(k)| \cdot |H(k)|</tex>$ .

Punto III

Sea un sistema $<tex>LTI</tex>$ con respuesta impulsiva $<tex>h(n)</tex>$ y respuesta en frecuencia $<tex>H(\Omega)</tex>$ , del cual se tienen los siguientes datos:

El sistema es causal.
$<tex>H(\Omega) = H^*(-\Omega)</tex>$ .
La Transformada de Fourier de $<tex>h(n + 2)</tex>$ es real.

Demostrar que el sistema es $<tex>FIR</tex>$ .
Sabiendo ademas que $<tex>H(\Omega) = H(\Omega - \pi)</tex>$ , $<tex>h(2) = 2</tex>$ , y $<tex>H(0) = 10</tex>$ , encontrar $<tex>h(n)</tex>$ .

Resolución

Punto I

Punto II

Para resolver este inciso se tiene en cuenta que multiplicar en frecuencia es convolucionar en tiempo. Por inspección se sabe que la antitransformada de $<tex>H(\omega)</tex>$ va a ser una suma de deltas. La convolución de una señal con una delta es simplemente “pegar” la señal donde cae la delta.

Sea $<tex>H(\Omega) = \left( \frac{1}{2} + \cos(4\, \Omega)\right) e^{-j4\Omega} = \frac{1}{2} \left( 1 + e^{-j4\Omega} + e^{-j8\Omega}\right) </tex>$

$<tex>h(n) = \frac{1}{2} \left( \delta(n) + \delta(n-4) + \delta(n-8) \right)</tex>$

Entonces $<tex>y(n) = x(n)*h(n) = \frac{1}{2} \left( x(n) + x(n-4) + x(n-8) \right)</tex>$

Punto III

Para demostrar que $<tex>h[n]</tex>$ es finita (sistema $<tex>FIR</tex>$ ) se analizan los puntos planteados por el problema.

Que el sistema sea causal significa que $<tex>h[n]=0 \ n<0</tex>$ . Además $<tex>h[n]</tex>$ es real ya que $<tex>H(\Omega) = H^*(-\Omega)</tex>$ . Por ultimo, la Transformada de Fourier de $<tex>h[n + 2]</tex>$ es real, entonces $<tex>h[n]</tex>$ es par respectode dos.

Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente se puede decir que $<tex>h[n] \not= 0 \Leftrightarrow 0<n<4</tex>$ . Por consiguiente el sistema es $<tex>FIR</tex>$ .

Para hallar se analizan los datos del segundo inciso:

Por definicion $<tex>H(\Omega) = \sum_{-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n} </tex>$ , entonces $<tex>H(0) = \sum_{-\infty}^{\infty} h[n] = h[0] + h[1] + h[2] + h[3] + h[4] = 10</tex>$ .

Por otra parte $<tex>H(\Omega) = H(\Omega - \pi)</tex>$ . Antitransformando a ambos lados se tiene $<tex>h[n] = (-1)^n h[n] </tex>$ . Luego $<tex> h[n] = 0 </tex>$ para $<tex> n </tex>$ impar por ser la respuesta al impulso una función par.