62.03/04 Física II A/B - Trabajo Práctico de Laboratorio - Corriente Continua

%
% Este documento está basado en el "Modelo de TP genérico en LaTeX"[1] escrito
% por Diego Essaya <dessaya@fi.uba.ar>.
%
% [1] http://lug.fi.uba.ar/documentos/tp-generico/
%
% Pablo Antonio; 14/03/2007

%
% Acá se define el tamaño de letra principal:
%
\documentclass[12pt]{article}

%
% Título y autor(es):
%
\title{Trabajo Práctico Nº 4 - Mediciones con Corriente Continua}
\author{Antonio, Pablo Oscar\\Frers, Wenceslao}

%------------------------- Carga de paquetes ---------------------------
%
% Si no necesitás algún paquete, comentalo.
%

%
% Definición del tamaño de página y los márgenes:
%
\usepackage[a4paper,headheight=16pt,scale={0.7,0.8},hoffset=0.5cm]{geometry}

%
% Vamos a escribir en castellano:
%
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}

%
% Si preferís el tipo de letra Helvetica (Arial), descomentá las siguientes
% dos lineas (las fórmulas seguirán estando en Times):
%
%\usepackage{helvet}
%\renewcommand\familydefault{\sfdefault}

%
% El paquete amsmath agrega algunas funcionalidades extra a las fórmulas. 
% Además defino la numeración de las tablas y figuras al estilo "Figura 2.3", 
% en lugar de "Figura 7". (Por lo tanto, aunque no uses fórmulas, si querés
% este tipo de numeración dejá el paquete amsmath descomentado).
%
\usepackage{amsmath}
\numberwithin{equation}{section}
\numberwithin{figure}{section}
\numberwithin{table}{section}

%
% Para tener cabecera y pie de página con un estilo personalizado:
%
\usepackage{fancyhdr}

%
% Para poner el texto "Figura X" en negrita:
% (Si no tenés el paquete 'caption2', probá con 'caption').
%
\usepackage[hang,bf]{caption2}

%
% Para poder usar subfiguras: (al estilo Figura 2.3(b) )
%
\usepackage{subfigure}

%
% Para poder agregar notas al pie en tablas:
%
\usepackage{threeparttable}

%------------------------------ graphicx ----------------------------------
%
% Para incluir imágenes, el siguiente código carga el paquete graphicx 
% según se esté generando un archivo dvi o un pdf (con pdflatex). 
%
\newif\ifpdf
\ifx\pdfoutput\undefined
	\pdffalse
\else
	\pdfoutput=1
	\pdftrue
\fi

\ifpdf
	\usepackage[pdftex]{graphicx}
	\pdfcompresslevel=9
\else
	\usepackage[dvips]{graphicx}
\fi

% Más fácil para las resistencias :) (Pablo Antonio)
\newcommand{\Ohm}{\Omega}

%
% Todas las imágenes están en el directorio imagenes:
%
\newcommand{\imgdir}{imagenes}
\graphicspath{{\imgdir/}}
%
%------------------------------ graphicx ----------------------------------



%------------------------- Inicio del documento ---------------------------

\begin{document}

%
% Hago que en la cabecera de página se muestre a la derecha la sección,
% y en el pie, en número de página a la derecha:
%
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{\markboth{}{\thesection\ \ #1}}
\lhead{}
\chead{}
\rhead{\rightmark}
\lfoot{}
\cfoot{}
\rfoot{\thepage}

%
% Carátula:
%
\begin{titlepage}
%
% Sin cabecera ni pie de página:
%
	\thispagestyle{empty}
%
% Logo de la facu arriba a la izquierda: 
%
% No me lo piden; lo excluyo. (Pablo)
%
% \includegraphics{logo-facu}
% \vfill
%
% Título:
%
	\begin{center}
		\Huge{Física II A}\\
		\vspace{1cm}
		\Huge{Trabajo Práctico Nº 4}\\
		\Huge{Mediciones con Corriente Continua}\\
	\end{center}
	\vspace{2cm}
%
% Integrantes:
%
	\large{
		\begin{tabbing}
			Antonio, Pablo Oscar \hspace{1cm}\= XXXXX\\
			Frers, Wenceslao \> 		XXXXX\\
		\end{tabbing}
	}
	\vfill
%
% Fecha o cuatrimestre:
%
	\flushright{2\sptext{do} cuatrimestre 2006}
\end{titlepage}


%
% Hago que las páginas se comiencen a contar a partir de aquí:
%
\setcounter{page}{1}

%
% Pongo el índice en una página aparte:
%
\tableofcontents
\newpage

%
% Inicio del TP:
%
\section{Resumen}
El presente informe muestra los resultados obtenidos a partir del trabajo
realizado en el laboratorio. Se describen la puesta en práctica de diferentes
métodos de medición y sus características propias, y se pretende comprobar,
mediante la experiencia, resultados obtenidos analíticamente a partir de la
teoría.

\section{Introducción}
Es menester comprender que toda medición de cualquier índole conlleva un error
propio. No hay medición alguna que provea de un valor \emph{real}. Muchos son
los agentes que participan en una medición típica, y cada uno de ellos
interviene en la desviación de los resultados, entre ellos:
\begin{itemize}
\item El observador
\item El instrumental
\item El contexto
\item El proceso
\end{itemize}

Por ello, el modo más adecuado de expresar un resultado de una medición ha de
ser aquel en el que se represente un rango de valores posibles. Una manera de
hacer esto es designar a un valor del rango como \emph{representativo}, y
añadirle en su representación un valor de \emph{incerteza} o \emph{error}, que
da cuenta de la precisión con la que se realizó la medición.

La precisión de la medición dependerá siempre de todos los factores
influyentes, pero podrá ser mayor según se utilice uno u otro método, o se
trabaje en una u otra situación. Es decir, es posible llegar a un mayor grado
de precisión alterando los factores presentes.

Este trabajo práctico pretende:
\begin{itemize}
\item Mostrar dos métodos de medición diferentes, para la medición del valor de
una resistencia.
\item Apreciar las diferencias de precisión entre los distintos
métodos/instrumentos utilizados.
\item Familiarizar al ejecutante con los circuitos eléctricos.
\item Contrastar los resultados experimentales con los hallados analíticamente.
\end{itemize}

\section{Método experimental}

\subsection{Medición de resistencias con un téster}
Los multímetros son instrumentos que ofrecen distintas funcionalidades. Entre
ellas, permiten medir la resistencia eléctrica. Las incertezas de medición al
utilizar el multímetro pueden conocerse fácilmente a partir de las
especificaciones del fabricante.

Se determinaron, con la ayuda del multímetro, los valores (con sus respectivos
errores) de un cierto número de resistencias. Se comparó luego el valor
obtenido con su valor nominal.

\subsection{Puente de Wheatstone}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics{puente}
	\caption{Puente de Wheatstone.}
	\label{fig:wheatstone}
\end{figure}
El circuito de la figura \ref{fig:wheatstone} representa una herramienta
práctica y común para hallar, con precisión aceptable, el valor de una
resistencia dada. Las resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$ tienen valores
conocidos. En el esquema de la figura \ref{fig:wheatstone} se pretende hallar
el valor de una resistencia incógnita $R_x$. Una de las resistencias
conocidas, $R_2$, es variable. $r$ es una resistencia de protección
utilizada para no dañar el galvanómetro.

El \emph{método de cero} consiste en lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item Una vez encendida la fuente, modificar el valor de la resistencia
variable hasta lograr que el galvanómetro marque cero. (Es decir, hasta que por
su rama no circule corriente.)
\item Encontrar el valor de la resistencia incógnita a partir de la condición
de equilibrio del puente de Wheatstone (ecuación
\eqref{ecuacion_de_equilibrio}).
\end{enumerate}

El instrumental con el que contamos para nuestra experiencia de laboratorio
fue, entonces:
\begin{itemize}
\item Una fuente o generador eléctrico ($E$)
\item Dos resistencias de un valor fijo ($R_1$ y $R_3$)
\item Una resistencia variable ($R_2$)
\item Un galvanómetro ($G$)
\item Una resistencia de protección o limitante de corriente ($r$)
\item Una resistencia de valor desconocido ($R_x$)
\item Un multímetro utilizado para la medición de las resistencias fijas.
\end{itemize}

\subsection{Mediciones de tensión con un téster}
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics{problema5}
	\caption{Circuito utilizado para medir tensiones.}
	\label{fig:problema5}
\end{figure}
Utilizando el circuito de la figura \ref{fig:problema5}, se midió la tensión
sobre la resistencia $R_2$ y sobre la fuente $V_0$ con un téster. Las
resistencias $R_1$ y $R_2$ fueron reemplazadas por pares de las resistencias
medidas con el multímetro anteriormente.

\subsection{Curvas tensión-corriente de una lámpara}
La resistencia eléctrica permite saber en qué grado un objeto se opone a la
circulación de corriente. La resistencia eléctrica no se encuentra ajena a
factores externos como la temperatura. Para temperaturas cercanas a la
temperatura ambiente, la resistencia de un conductor metálico típico se
incrementa linealmente con la temperatura según
\begin{equation}\label{temperatura_resistencia}
R = R_0(1 + \alpha T)
\end{equation}
En nuestra experiencia de laboratorio, se intenta comprobar empíricamente la
existencia de dicha variación.

\section{Resultados}

\subsection{Medición de resistencias con un téster}
La medición de tres resistencias con el téster arrojó los valores detallados en
el cuadro \ref{tab:resistencias}.
\begin{table}
	\centering
	\begin{tabular}{llll}
		\bf{Resistencia}   &   \bf{Valor nominal}   &
		\bf{Valor medido por el téster} & \bf{Incerteza}\\
		\hline
		1 & $5600\,\Ohm$ & $5510\,\Ohm$ & $49\,\Ohm$ \\
		2  & $560\,k\Ohm$ & $554\,k\Ohm$ & $8\,k\Ohm$ \\
		3  & $5.6\,M\Ohm$ & $5.44\,M\Ohm$ & $0.13\,M\Ohm$
	\end{tabular}
\caption{Valores de las resistencias medidos por el téster.}\label{tab:resistencias}
\end{table}
\subsection{Puente de Wheatstone}
El circuito recreado en el laboratorio guarda similitud con el de la figura
\ref{fig:wheatstone}. Se realizó la medición de dos resistencias
distintas mediante el mismo método. Las resistencias $R_1$ y $R_3$ fueron
medidas con el multímetro. Sus errores fueron calculados a partir de las
especificaciones halladas en el manual del instrumento:
$$R_1 = 361\Ohm \pm 5\Ohm$$
$$R_3 = 365\Ohm \pm 8\Ohm$$

Para la primer resistencia incógnita, el equilibrio se logró cuando la
resistencia variable tuvo el valor $R_2 = 333\Ohm$ con un error de $\pm 5\Ohm$.
Este valor se obtuvo también gracias al multímetro, y su error fue estimado
según las instrucciones del fabricante.
A partir de la ecuación \eqref{ecuacion_de_equilibrio} se halla
$$R_{x1} = 395\Ohm \pm 18\Ohm$$

Para la segunda, se llegó al equilibrio con $R_2 = 1603\Ohm$ con un error de
$\pm 15\Ohm$. Entonces
$$R_{x2} = 82\Ohm \pm 28\Ohm$$

Los errores de las resistencias incógnitas fueron obtenidos a partir de la
suma de los errores de medición de las demás resistencias del circuito.

Se midieron también ambas resistencias individualmente con el multímetro. Los
valores arrojados fueron los siguientes:
$$R_{x1}' = 380\Ohm \pm 4\Ohm$$
$$R_{x2}' = 75\Ohm \pm 0.8\Ohm$$

\subsection{Mediciones de tensión con un téster}
En el circuito de la figura \ref{fig:problema5}, se reemplazaron las
resistencias por pares de las resistencias listadas en el cuadro
\ref{tab:resistencias}.

Se obtuvieron los resultados tabulados en el cuadro \ref{tab:tensiones}. El
valor de la tensión sobre la fuente fue, para los tres casos, $V_0 = 12.02\,V$.
\begin{table}
	\centering
	\begin{tabular}{lll}
		\bf{Resistencia}   &   \bf{Tensión sobre $R_1$}   &
		\bf{Tensión sobre $R_2$}\\
		\hline
		1 & $5.98\,V$ & $6.04\,V$ \\
		2  & $5.85\,V$ & $5.84\,V$ \\
		3  & $4.70\,V$ & $4.71\,V$
	\end{tabular}
\caption{Tensiones medidas por el téster en el circuito de la figura
\ref{fig:problema5}.}\label{tab:tensiones}
\end{table}
\subsection{Curvas tensión-corriente de una lámpara}
Se midió utilizando un téster la resistencia de una lámpara de 12\,V:
$$R_{lampara}=0.8\,\Ohm$$

A partir de los valores obtenidos, se generó el gráfico de la figura
\ref{fig:t-c}.
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=10 cm]{tension-corriente}
	\caption{Curva de Tensión-Corriente de una lámpara.}
	\label{fig:t-c}
\end{figure}

\section{Discusión}
\subsection{Medición de resistencias con un téster}
Se observa a partir del cuadro \ref{tab:resistencias}, que la diferencia entre
el valor nominal (de fábrica) de la resistencia y el valor medido por el téster
se incrementa conforme la resistencia en cuestión es mayor.

Esto se debe a que el valor de la resistencia interna del téster es del orden
de los $M\Ohm$. Cuando se miden resistencias de valores mucho menores, la
ubicación en paralelo de ambas resistencias no desvía significativamente la
medición. Sin embargo, cuando la resistencia medida es del orden de la
resistencia interna del téster, la diferencia se hace apreciable y la medición
es, a las claras menos \emph{exacta}.

\subsection{Puente de Wheatstone}
El método utilizado para la medición de resistencias mediante el puente de
Wheatstone es, como ya se dijo, muy confiable en general. Sin embargo, el
método es mucho más preciso cuando se cuenta con resistencias conocidas medidas
con una gran precisión.

En esta experiencia, a las resistencias utilizadas se les adjudicaron valores
obtenidos gracias al multímetro. Estos valores acarreaban ciertos errores de
medición los cuales se obtuvieron a partir de las instrucciones del fabricante.

Es por ello que el rango de incerteza es menor para la medición de las
resistencias hecha directamente con el multímetro. Esto no quiere decir que el
método del puente de Wheatstone no revista importancia ni confiabilidad. Por el
contrario, demuestra que para que el método sea útil son necesarias ciertas
condiciones; en particular, que el valor de las resistencias conocidas no
acarree incertezas significativas.

\subsection{Curvas tensión-corriente de una lámpara}
Según la \emph{ley de Ohm} ($V = i\,R$), la relación entre la corriente y la
tensión, siempre que la resistencia eléctrica sea constante, es lineal. Como
puede apreciarse a partir del gráfico de la figura \ref{fig:t-c}, la relación
entre ambas no es precisamente lineal en este caso.

Esto se debe a que al aumentar la temperatura (incrementando la intensidad de
corriente) la resistencia eléctrica se hace mayor según la ecuación
\eqref{temperatura_resistencia}. Esta variación de la resistencia es la que
produce que el gráfico de tensión-corriente no sea el de una función lineal
y se parezca más al de una exponencial, ya que la tensión se incrementa más
rápidamente que la corriente.

\section{Conclusiones}
A partir de lo observado, se puede llegar a las siguientes conclusiones:
\begin{itemize}
\item Las mediciones de resistencias con un multímetro son más precisas cuando
el objeto a medir posee una resistencia eléctrica de un orden mucho menor al
de la resistencia interna del instrumento. Esto es un factor importante a tener
en cuenta por quien realiza la medición.
\item El circuito del puente de Wheatstone y el \emph{método de cero}
para medir resistencias son muy confiables, pero el método es más preciso
cuando los valores de las resistencias implicadas se conocen con una gran
precisión.
\item Es fácil comprobar empíricamente la dependencia de la resistencia
eléctrica respecto de la temperatura.
\end{itemize}

\newpage


\section{Problemas}

\subsection{Problema 1}
\begin{bfseries}
Indique el valor y la tolerancia de las resistencias de carbón que
tienen los siguientes códigos:
\end{bfseries}
\begin{enumerate}
\item \textbf{naranja negro rojo dorado:}

$ R = 300\Ohm $ con $ 5\% $ de tolerancia.
\item \textbf{rojo azul marrón plateado:}

$ R = 260\Ohm $ con $ 10\% $ de tolerancia.
\end{enumerate}

\subsection{Problema 2}
\begin{bfseries}
Se tienen los siguientes valores de resistencia medidos una vez con el téster
de la práctica. En base a las especificaciones, estimar la incerteza de cada
lectura. (Use la tabla provista.):
\end{bfseries}

Los valores de resistencias dados, junto con sus errores de medición se
encuentran expresados en el cuadro \ref{tab:problema2}.
\begin{table}[hbt]
	\centering
	\begin{tabular}{lll}
		\bf{R}   &   \bf{$\Delta\,R$}   &
		\bf{Error porcentual}\\
		\hline
		$1.1\,\Ohm$ & $0.31\,\Ohm$ & $27.97\%$ \\
		$180.5\,\Ohm$ & $1.56\,\Ohm$ & $0.86\%$ \\
		$1500\,\Ohm$ & $11.50\,\Ohm$ & $0.77\%$ \\
		$6800\,\Ohm$ & $57.60\,\Ohm$ & $0.85\%$ \\
		$180.3\,k\Ohm$ & $1362.10\,\Ohm$ & $0.76\%$ \\
		$4.710\,M\Ohm$ & $114200\,\Ohm$ & $2.43\%$
	\end{tabular}
\caption{Valores de resistencias medidas y sus errores. (Problema 2)}
\label{tab:problema2}
\end{table}

\textbf{¿Cuál de las incertezas influye más en la calidad de la medida? ¿El
porcentual o el relativo a los dígitos que indica el téster? Justificar.}

A partir de la tabla para la estimación de incertezas dada, es claro que la
mayor desviación en la medida es introducida por la parte porcentual. Basta
comprobarlo buscando el error de diferentes valores medidos con el téster.

\subsection{Problema 3}
\textbf{Determinar la condición de equilibrio del puente de Wheatstone a partir
de las leyes de Kirchhoff.}

Una vez que se logra que el galvanómetro marque cero (por su rama no circulará
corriente), se tiene que $V_{AB}=0$. Mediante las leyes de \emph{Kirchoff} el
cálculo es inmediato (utilizando los datos de la figura \ref{fig:wheatstone}):

\begin{equation}\label{malla_arriba}
R_1\,i_1 = R_2\,i_2
\end{equation}
\begin{equation}\label{malla_abajo}
R_x\,i_1 = R_3\,i_2
\end{equation}
De la ecuación \eqref{malla_abajo} es fácil obtener:
$$ i_2 = \frac{R_x\,i_1}{R_3} $$
Usando este resultado en la ecuación \eqref{malla_arriba} se llega a:
\begin{equation}\label{ecuacion_de_equilibrio}
R_3\,R_1 = R_2\,R_x
\end{equation}
La ecuación \eqref{ecuacion_de_equilibrio} es la llamada \emph{condición de
equilibrio del puente de Wheatstone}.

\subsection{Problema 4}
\begin{bfseries}
Calcular en el circuito de la figura los valores máximo y mínimo que puede
tener la resistencia $R$ para que la corriente por el galvanómetro $G$ no
supere el $mA$ (valor a fondo de escala). Considere los casos $r=10\Ohm$,
$r=20\Ohm$ y $r=50\Ohm$. Datos: $R1=R2=R3=1000\,\Ohm$; $V=12V$.
\end{bfseries}

Utilizando las leyes de Kirchoff (escribiendo las ecuaciones de los nodos y
circulando las mallas del circuito expresando las diferencias de potencial
presentes) se llega a la siguiente expresión para $i_G$
\footnote{En la ecuación señalada se han dejado de lado las unidades. Es
decir, tanto $r$ como $R$ son valores numéricos sin unidades. Sin embargo,
es sabido que las resistencias se miden en $\Ohm$ y las intensidades de
corriente en $A$.}:
$$i_G = \frac{6R - 6000}{1000(500+r) + R(1500 + r)}\,A $$

Para hallar el valor de $R$ máximo y mínimo se debe igualar la expresión de
$i_G$ a $1\,mA$. Esto debe hacerse utilizando los valores de $r$ que se dan
en el enunciado del problema.

Finalmente, en el cuadro \ref{tab:problema4} se hallan los valores máximos
y mínimos de la resistencia $R$ para cada valor de la resistencia $r$ dado.
\begin{table}[hbt]
	\centering
	\begin{tabular}{lll}
		\bf{$r$}   &   \bf{$R_{max}$}   &
		\bf{$R_{min}$}\\
		\hline
		$10\,\Ohm$ & $1450\,\Ohm$ & $731\,\Ohm$ \\
		$20\,\Ohm$ & $1455\,\Ohm$ & $729\,\Ohm$ \\
		$50\,\Ohm$ & $1472\,\Ohm$ & $722\,\Ohm$
	\end{tabular}
\caption{Valores máximos y mínimos de la resistencia $R$ para satisfacer el
enunciado del problema 4.}
\label{tab:problema4}
\end{table}
\subsection{Problema 5}
\begin{bfseries}
Para el circuito de la figura \ref{fig:problema5}, calcular la tensión sobre
la resistencia $R_2$:
\end{bfseries}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Considerando el tester ideal , con los siguientes valores:}
	\begin{enumerate}
	\item $V_0= 10V$, $R_1 = R_2 = 5,6 k\Ohm$

	De forma general, el cálculo será el mismo para todos los valores de
	$V$, $R_1$ y $R_2$. Comenzando por el recorrido de la malla, según las
	leyes de Kirchoff:
	$$V_0 - i\,R_1 - i\,R_2 = 0$$
	Sólo resta encontrar $i$:
	$$V_0 = i(R_1+R_2)$$
	$$i = \frac{V_0}{R_1+R_2}$$
	Entonces, se llega a la expresión general
	$$V_{Tester}=i\,R_2=\frac{V_0\,R_2}{R_1+R_2}$$
	Pero en los tres casos $R_1 = R_2$, entonces
	\begin{equation}\label{prob5_ideal}
	V_{Tester}=i\,R_2=\frac{V_0\,R_2}{2\,R_2}=\frac{V_0}{2}
	\end{equation}
	Usando la ecuación \eqref{prob5_ideal} con los datos provistos se llega
	a
	$$V_{Tester} = 5\,V$$
	\item $V_0 = 10V$, $R_1 = R_2 = 560 k\Ohm$

	Nuevamente, usando \eqref{prob5_ideal}
	$$V_{Tester} = 5\,V$$
	\item $V_0 = 10V$, $R_1 = R_2 = 5,6 M\Ohm$

	Como el valor de $V_0$ es siempre el mismo, y se cumple
	\eqref{prob5_ideal} se tiene
	$$V_{Tester} = 5\,V$$
	\end{enumerate}
\item \textbf{Considerando el téster real ($R_{int} = 10 M\Ohm$) , para el
mismo juego de valores del punto anterior.}

\begin{enumerate}
	\item $V_0= 10V$, $R_1 = R_2 = 5,6 k\Ohm$

	Para el caso del téster real se tiene que:
	$$R'_2 = \frac{R_2 R_{int}}{R_2 + R_{int}}$$
	donde $R_2$ es el valor de la resistencia dado como dato,  $R_{int}$ es
	la resistencia interna del instrumento y, finalmente, $R'_2$ es la
	resistencia medida por el téster. La caída de tensión medida por el
	téster será
	$$V_{Tester} = \frac{R'_2}{R_1+R'_2}V_0$$
	donde $V_0$ es la tensión en la fuente.

	Aplicando el resultado anterior, se obtiene:
	$$R'_2 = 5596.9\,\Ohm$$
	$$V_{Tester} = 5\,V$$
	\item $V_0 = 10V$, $R_1 = R_2 = 560 k\Ohm$

	Mismo procedimiento con los nuevos valores:
	$$R'_2 = 530.3\,k\Ohm$$
	$$V_{Tester} = 4.86\,V$$
	\item $V_0 = 10V$, $R_1 = R_2 = 5,6 M\Ohm$

	Ídem.
	$$R'_2 = 3.59\,M\Ohm$$
	$$V_{Tester} = 3.9\,V$$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\begin{bfseries}

\end{bfseries}

\end{document}