Examen Parcial - 62.03./62.04. Física II - 03/12/2011

2011

Cátedra: Para todas las cátedras
Fecha: 1º Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2010
Día: 03/12/2011
Tema: 2

Se desea establecer en el entrehierro del núcleo de la figura un flujo de campo de inducción megnética Φ_B = 2·10^-5Wb. El núcelo está construido con un material de permeabilidad magnética relativa constante e igual a 600, y tiene sección transversal constante de 5 cm², espesor e = 1mm, a = 30cm, b = 20cm. Calcular el valor y el sentido de la corriente I₂ que debe circular por N₂ = 1000 espiras, si la corriente I₁ = 1,5 A y N₁ = 400 espiras.

Problema 2

Una espira rectangular se coloca a una distancia a de un cable infinito por el que circula una corriente I = cte y en forma coplanar al cable.

a)	Determinar el coeficiente de inducción mutua.
b)	Si en t = 0, la espira comienza a alejarse del cable infinito a una velocidad constante v, en la dirección perpendicular al cable, calcular la fem inducida en función del tiempo. Indicar el sentido de la corriente inducida en la espira
c)	Idem b), solo que la espira se desplaza paralela al cable.
d)	Si se hace variar la corriente que circula por el cable con el tiempo de manera que I(t) = Bt-A, con A y B constantes, ¿se modifican los resultados obtenidos en b) y c)? ¿En este caso la fem inducida es igual a la circulación de v × B a lo largo del circuito determinado por la espira?

Problema 3

Un circuito RLC serie está excitado por un generador 12V eficaces y frecuencia f variable. Siendo L = 10mH, cuando f₁ = 1592 Hz la corriente está en fase con la tensión y cuando f₂ = 1674Hz la corriente atrasa 45º con respecto a la tensión.

a)	Calcular el valor de C y R.
b)	¿A que frecuencia f₃ la corriente adelanta a la tensión en 45º?
c)	¿Qué potencia disipa el circuito en este último caso?

Problema 4

Describir, justificando, dos métodos para medir la frecuencia de resonancia de un circuito RLC serie con los elementos disponibles en el TP de laboratorio.

Problema 5 (SÓLO FÍSICA 2 A)

Se tiene una cañería de Hierro de 14cm de diámetro interior y 15cm de diámetro exterior, revestida con una capa de un material (de conductividad térmica λ_M) de 3cm, por la que circula agua a 75ºC. La temperatura exterior es 27ºC. Calcule el flujo de calor por unidad de longitud, las temperaturas de cada una de las paredes y haga un esquema de la temperatura en función del radio.

Datos: $<tex>h_\text{Aire-M}=5.5 \tfrac{\text{kCal}}{\text{m}^2\text{ }^\text{o}\text{C h}}</tex>$ , $<tex>\lambda_\text{Hierro}=55 \tfrac{\text{kCal}}{\text{m }^\text{o}\text{C h}}</tex>$ , $<tex>\lambda_\text{M}=0.19 \tfrac{\text{kCal}}{\text{m }^\text{o}\text{C h}}</tex>$ , $<tex>h_\text{Agua-Hierro}=3000 \tfrac{\text{kCal}}{\text{m}^2\text{ }^\text{o}\text{C h}}</tex>$

Problema 5 (SÓLO FÍSICA 2 B)

Se tiene un circuito de una malla formado por un capacitor C y una resistencia R. El capacitor se encuentra inicialmente cargado con Q₀. A t = 0 se cierra el circuito. Calcule la energía disipada en la resistencia para t ≫ τ. Interprete.

Resolución

Problema 1

En el entrehierro, $<tex>\mu_r=1</tex>$ y por lo tanto $<tex>\vec{M}_\text{e}=0</tex>$ .

El flujo y la inducción magnética es uniforme por todo el núcleo. Para calcular $<tex>\vec{B}</tex>$ , puedo usar el flujo y la sección:
$<tex>\Phi_B=\iint \vec{B}\cdot\; \vec{dS} = B \iint dS = BS</tex>$
$<tex>B=\frac{\Phi_B}{S}=\frac{2\cdot 10^{-5}\text{ Wb}}{5\cdot 10^{-4}\text{ m}^2}=4\cdot 10^{-2}\text{ T}</tex>$

Con esto puedo calcular $<tex>\vec{H}_\text{nucleo}</tex>$ y $<tex>\vec{H}_e</tex>$ :
$<tex>\vec{B}=\mu_0\mu_r\vec{H}\to H=\frac{B}{\mu_0\mu_r}</tex>$
$<tex>H_\text{nucleo}=\frac{B}{\mu\cdot 600}=\frac{5\cdot 10^2}{3\pi}\frac{\text{A}}{\text{m}}</tex>$
$<tex>H_e=\frac{B}{\mu_0\cdot 1}=\frac{10^5}{\pi}\frac{\text{A}}{\text{m}}</tex>$

Para calcular $<tex>I_2</tex>$ , puedo usar la siguiente ecuación:
$<tex>\oint\vec{H}\cdot\;\vec{dl}=\sum N\cdot I</tex>$
$<tex>\int\vec{H}_\text{nucleo}\cdot\;\vec{dl}_\text{nucleo}+\int\vec{H}_e\cdot\;\vec{dl}_\text{e}=N_1 I_1+N_2 I_2</tex>$

$<tex>\vec{H}_\text{nucleo}</tex>$ y $<tex>\vec{H}_\text{e}</tex>$ son uniformes y por lo tanto se pueden despejar:
$<tex>\vec{H}_\text{nucleo}\int dl_\text{nucleo}+H_e\int dl_\text{e}=H_\text{nucleo} \left(2a+2b-e\right)+H_\text{e}\cdot e=N_1I_1+N_2I_2</tex>$

Despejando $<tex>I_2</tex>$ , queda:
$<tex>I_2=\frac{H_\text{nucleo}\left(2a+2b-e\right)+H_\text{e}-N_1I_1}{N_2}</tex>$
$<tex>I_2=\frac{\frac{5\cdot 10^2}{3\pi}\frac{\text{A}}{\text{m}}\left(2\cdot 0.3\,\text{m}+2\cdot 0.2\,\text{m}-10^{-3}\,\text{m}\right)+\frac{10^5}{\pi}\frac{\text{A}}{\text{m}}-400\cdot 1.5\,\text{A}}{1000}=-0.515\text{A}</tex>$

Finalmente, se toma el módulo:
$<tex>I_2=0.515</tex>$

Para conocer el sentido, se puede usar la ley de Faraday-Lenz, que dice que la corriente se va a dar de tal forma que estabilice el flujo, o sea, en dirección contraria a la fem.

Problema 3

Punto a

$<tex>V\left(t\right)=V_\text{max} \sen\left(wt\right)</tex>$ , donde $<tex>V_\text{max}=\sqrt{2}V_\text{ef}</tex>$
$<tex>I\left(t\right)=I_\text{max} \sen\left(wt\right)</tex>$

Cuando $<tex>f_1=1592\,\text{Hz}</tex>$ , la corriente está en fase con la tensión y por lo tanto $<tex>\phi_1=0</tex>$ ( $<tex>f_1</tex>$ es la frecuencia de resonancia). Para $<tex>f_2=1674\,\text{Hz}\to\phi_2=45^o=\tfrac{\pi}{4}</tex>$ .

Diagrama fasorial:

$<tex>f_1=1592\,\text{Hz}</tex>$	$<tex>f_2=1674\,\text{Hz}</tex>$

Usando el teorema de la tangente:
$<tex>\tan\phi=\frac{X_L-X_C}{R}</tex>$

En el primer caso: $<tex>\phi_1=0</tex>$
$<tex>\tan\phi_1=0 \to X_L-X_C=0 \to X_L=X_C </tex>$
$<tex>X_L=X_C\to \omega_1L=\frac{1}{\omega_1C}\to {\omega_1}^2=\frac{1}{LC}</tex>$

Utilizando $<tex>\omega=2\pi f</tex>$ :
$<tex>4\pi^2 {f_1}^2=\frac{1}{LC}\to C=\frac{1}{4\pi^2 {f_1}^2 L}</tex>$
$<tex>C=\frac{1}{4\pi^2\cdot\left(1592\,\text{Hz}\right)^2\cdot 10^-2\,\text{H}}=1.00\cdot 10^-6 \,\text{F}=1\,\mu\text{F}</tex>$

Para el segundo caso: $<tex>\phi_2=\tfrac{\pi}{4}</tex>$
$<tex>\tan\phi_2=1 \to 1=\frac{X_L-X_C}{R} \to R=X_L-X_C = \omega_1L-\frac{1}{\omega_1C}=2\pi f_2L-\frac{1}{2\pi f_2C}</tex>$
$<tex>R=2pi\cdot 1674\,\text{Hz}\cdot 10^{-2}\,\text{H}-\frac{1}{2\pi\cdot 1674\,\text{Hz}\cdot 10^{-6}\,\text{F}}=10\Omega</tex>$

Punto b

$<tex>\tan \phi_3=\tan \left(-t\frac{\pi}{4}\right)=-1=frac{X_L-X_C}{R}\to -R=2\pi L F_3-\frac{1}{2 \pi C f_3}</tex>$
$<tex>\to 4\pi^2 L C {f_3}^2+2 \pi R C f_3 - 1 = 0</tex>$

Resolviendo la cuadrática, se obtienen dos resultados:
$<tex>f_{3\,1}=1514\,\text{Hz}</tex>$ $<tex>f_{3\,2}=-1674\,\text{Hz}</tex>$

Como la frecuencia es positiva, la solución que queda es:
$<tex>f_3=f_{3\,1}=1514\,\text{Hz}</tex>$

Punto c

Potencia aparente: $<tex>S=V_\text{ef}\cdot I_\text{ef}</tex>$

$<tex>I_\text{ef}=\frac{V_\text{ef}}{\left|Z\right|}</tex>$

$<tex>Z=R+i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right) = 10\Omega+i\left( 2\pi\cdot 1514\,\text{Hz}\cdot 10^{-2}\,\text{H}- \frac{1}{2\pi\cdot 1514\,\text{Hz}\cdot 10^{-6} \,\text{F}}\right)</tex>$
$<tex>Z=10\Omega+i\cdot\left(-10\Omega\right)</tex>$

$<tex>I_\text{ef}=\frac{12 \,\text{V}}{14.2\,\omega}=0.842\,\text{A}</tex>$

$<tex>S=12\text{V}\cdot 0.842\text{A}=10\,\text{VA}</tex>$

Potencia activa: $<tex>P=S\cdot \sen \phi_3 = 7.15\,\text{W}</tex>$
Potencia reactiva: $<tex>Q=S\cdot \cos \phi_3 = 7.15\,\text{VAR}</tex>$

Problema 4

El primer método para medir la frecuencia de resonancia consiste en variar la frecuencia hasta que la pantalla, que debe mostrar las dos ondas y configurada de tal forma que las dos ondas tengan el mismo Vol/Div, muestre a las dos ondas como una sola.

Luego se mide la cantidad de divisiones que ocupa la onda hasta llegar a un punto con la misma altura y tangente que el punto que cruza el eje central:

A esta medida se la multiplica por el Tiempo/Div para obtener el periodo.
Finalmente, se calcula la frecuencia como la inversa del periodo.
$<tex>F_\text{res}=\tfrac{1}{T}</tex>$

Otra forma de hacerlo es midiendo la auto-inductancia del inductor y la capacidad del capacitor y calcular la frecuencia con la siguiente fórmula:
$<tex>f_\text{res}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}</tex>$

Discusión

Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.