61.13. Análisis Matemático III C

• Que el alumno adquiera los conocimientos conceptuales y habilidades operacionales involucrados en los contenidos de la asignatura integrándolos con los conocimientos de las asignaturas previas del departamento.
• Que el alumno utilice el desarrollo de los distintos contenidos para consolidar su razonamiento lógico.
• Incentivar al alumno a utilizar modelos matemáticos y aplicaciones vinculados con los contenidos de la asignatura .

1. Funciones de variable compleja. Límite y continuidad. Holomorfía. Transformaciones conformes.
   
2. Integración. Teorema de Cauchy. Fórmula de Cauchy. Teoremas relacionados.
   
3. Series funcionales. Taylor. Laurent. Residuos. Cálculo de integrales. Integrales impropias.
   
4. Ecuaciones en derivadas parciales. Ecuaciones de onda, calor y Laplace. Serie de Fourier.
   
5. Transformadas integrales. Transformada de Laplace y Fourier. Aplicaciones.
   

Funciones holomorfas:
Funciones de variable compleja, Límite y continuidad. Derivabilidad y diferenciabilidad. Condiciones de Cauchy-Riemann. Holomorfía. Funciones armónicas. Interpretación geométrica de la derivada. Transformaciones conformes. Estudio de las funciones elementales. Funciones multiformes.
Integración de funciones de variable compleja:
Integral curvilínea. Definición. Propiedades. Teorema de Cauchy. Corolarios. Fórmula integral de Cauchy. Fórmulas generalizadas de Cauchy. Teoremas relacionados.
Series funcionales. Teorema de los residuos:
Sucesiones y series funcionales. Convergencia puntual y uniforme. Criterio de Weierstrass. Integración y derivación de series. Series de potencias. Series de Taylor y Laurent. Singularidades. Singularidades en el infinito. Residuos. Residuo en el infinito. Teorema de los residuos. Aplicación al cálculo de integrales de variable real. Integrales impropias de variable real: convergencia y cálculo mediante el teorema de los residuos.
Ecuaciones en derivadas parciales:
Problema de condiciones al contorno. Ecuaciones de ondas, del calor y de Laplace. Método de separación de variables. Series de Fourier. Propiedades. Convergencia. Funciones especiales.
Transformadas Integrales:
Pares transformados. La transformada de Laplace. Existencia. Propiedades. Aplicaciones a la resolución de ecuaciones diferenciales. Descripción de sistemas lineales. Función transferencia. Transformada de Fourier. Aplicaciones.