Examen Parcial - 61.12. Análisis III B - 21/11/2006

2006

Cátedra: González
Fecha: Segunda Oportunidad - Segundo Cuatrimestre 2006
Día: 21/11/2006

Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material.

Enunciado

Ejercicio I

Analizar continuidad y derivabilidad de $<tex>f(z)=z(\overline{z})^2+2(z-\overline{z})</tex>$ .
Dar la imagen de $<tex>\{z \in \mathbf C : Im(z)>0 \mbox{ y } |z+1|\leq 1\}</tex>$ al aplicar $<tex>T(z)=\left( \frac{z}{z+2} \right) ^2</tex>$ .
¿Qué funciones $<tex>\varphi:\mathbf R \rightarrow \mathbf R</tex>$ cumplen que $<tex>Re(f)(x,y)=\varphi(xy)</tex>$ es la parte real de una función $<tex>f</tex>$ entera? Hallar $<tex>Im(f)</tex>$ .

Ejercicio 2

Hallar la región Adel plano en donde $<tex>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n\sqrt{n^2+1}}(2z-1)^n</tex>$ es holomorfa y calcular $<tex>f'(z)</tex>$ para todo $<tex>z\in A</tex>$
Sean $<tex>f,g:U\rightarrow\mathbf C</tex>$ funciones holomorfas en $<tex>U</tex>$ abierto y conexo. Además existe una sucesión $<tex>(z_n)</tex>$ en U convergente a $<tex>z_0 \in U</tex>$ tal que para todo $<tex>n: z_n\ne z_0</tex>$ , $<tex>f(z_n)\ne 0</tex>$ , $<tex>g(z_n)\ne 0</tex>$ y $<tex>f(z_n)g'(z_n)-f'(z_n)g(z_n)=0</tex>$ . Probar que existe una constante $<tex>c</tex>$ tal que $<tex>f(z)=cg(z)</tex>$ . (Sug.: derivada del cociente)
Desarrollar la función $<tex>f(z)=\cos \left( \frac{1}{z} \right)</tex>$ en serie de Laurent en potencias de $<tex>z</tex>$ y obtener $<tex>\int_{\Gamma+} \!\! z^m\cos \left( \frac{1}{z} \right)dz</tex>$ para $<tex>m=-10,-5,0,5\mbox{ y }10</tex>$ , siendo $<tex>\Gamma</tex>$ contorno cerrado con $<tex>0\in int(\Gamma)</tex>$

Ejercicio 3

Sea la ecuación diferencial ordinaria dada por $<tex>xy''+(1-x)y'-\alpha xy=0</tex>$ , $<tex>( \alpha\in\mathbf R )</tex>$ . Mostrar que $<tex>x=0</tex>$ es un punto de Fuchs pero existe una función analítica solución de la ecuación.
Calcular $<tex>\int_{\gamma_r^+} \left( \frac{z}{z-1-i} \right)^2 dz</tex>$ siendo $<tex>\gamma_r :z(t)=re^{it},0\leq t\leq 2\pi</tex>$ para todos los valores de $<tex>r>0</tex>$ que sea posible.
Estudiar qué tipo de singularidad tiene $<tex>f(z)=\frac{1+3\exp{\left( \frac{1}{z-2} \right)}}{z^2}</tex>$ en $<tex>\infty</tex>$ y hallar $<tex>Res[f,\infty]</tex>$

Como $<tex>z</tex>$ y $<tex>\overline{z}</tex>$ son continuas, $<tex>f(z)</tex>$ es contua en todo el plano por ser combinación de estas funciones. Desarrollando: $<tex>f(z)=(x+iy)(x-iy)^2+2(x+iy-x+iy)=\underbrace{x(x^2+y^2)}_{u(x,y)}+i\underbrace{[-y(x^2+y^2)+4y]}_{v(x,y)}</tex>$ .

Como u y v son polinomios entonces son diferenciables, entonces f será derivable donde se cumplan las conficiones de Cauchy-Riemann. $<tex>\left\{ \begin{array}{rcl} u_x & = & v_y \\ u_y & = & -v_x \end{array}\right.</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcr} u_x=3x^2+y^2 & \mbox{ } & v_y=4-x^2-3y^2 \\ u_y=2xy & \mbox{ } & v_x=-2xy \end{array}</tex>$

Se observa que la segunda ecuación se cumple en todo el plano, y la primera ecuación da:

$<tex>3x^2+y^2=4-x^2-3y^2 \iff 4x^2+4y^2=4 \iff x^2+y^2=1</tex>$

Entonces f sólo será derivable en la circunferencia de centro $<tex>z=0</tex>$ y radio 1.

Punto 2

Punto 3

Ejercicio 2

Punto 1

$<tex>f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n\sqrt{n^2+1}}(2z-1)^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\left(z-\frac{1}{2}\right)^n</tex>$

Es una serie de potencias alrededor de $<tex>z_0=\frac{1}{2}</tex>$ , con término $<tex>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}</tex>$ . Por propiedad de este tipo de series puedo buscar su radio de convergencia asegurando la convergencia absoluta en los puntos del interior de un círculo de centro $<tex>z_0</tex>$ y divergencia en su exterior.

$<tex>R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{(n+1)^2+1}}{\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^2+2n+2}}{\sqrt{n^2+1}}=\\ =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1</tex>$

Entonces la serie converge en $<tex>|z-z_0|<1</tex>$ , y no converge en $<tex>|z-z_0|>1</tex>$ . Para los puntos $<tex>|z-z_0|=1</tex>$ no se puede decir nada a priori.

Por la unicidad del desaroollo de Taylor puedo decir que la serie dada es el desarrollo de Taylos de f, lo que garantiza que f sea holomorfa en $<tex>|z-z_0|<1</tex>$ . En este caso no interesa la convergencia en $<tex>|z-z_0|=1</tex>$ , pued f solo puede ser holomorfa en conjuntos abiertos. Entonces: $<tex>A=\{z:|z-z_0|<1\}</tex>$ con $<tex>z_0=\frac{1}{2}</tex>$ .

La convergencia uniforme me permite derivar término a término, entonces:

$<tex>f'(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}(2z-1)^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{\sqrt{(n+1)^2+1}}(2z-1)^n\mbox{ }\forall z\in A</tex>$

siendo f' también holomorfa en A.

Punto 2

$<tex>f,g:U\rightarrow\mathbf C</tex>$ holomorfas en U abierto y conexo, $<tex>z_n\rightarrow z_0</tex>$

Sea $<tex>h(z)=\frac{f(z)}{g(z)} \Longrightarrow h'(z)=\frac{g(z)f'(z)-f(z)g'(z)}{[f(z)]^2}</tex>$

Como $<tex>h'(z_n)=0 \forall n\in\mathbf N</tex>$ por el principio de indentidad (como $<tex>z_n</tex>$ converge a $<tex>z_0\in U</tex>$ ) $<tex>\Longrightarrow h'=0</tex>$ en todo U. Como U es abierto y conexo entonces $<tex>h=c</tex>$ cte, por lo tanto $<tex>h(z)=\frac{f(z)}{g(z)}=c</tex>$ , y entonces $<tex>f(z)=cg(z)</tex>$ .