Examen Parcial - 61.12. Análisis Matemático III B
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Examen Parcial - 61.12. Análisis Matemático III B

Cátedra: González
Fecha: Tercera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2005
Día: 05/07/2005

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a) ¿Es derivable $<tex> f(z)=\sqrt{|Re(z)Im(z)|}+i|z|^2 </tex>$ en $<tex> z=0 </tex>$ ?. ¿Por qué?
b) Probar que la función $<tex> e^{\cos{x}Chy}\cos(senxShy) </tex>$ es armónica y dar su conjugada armónica. (Sug.: considerar $<tex> \exp{( \cos{z} )} </tex>$ ).
c) Sea $<tex> T(z)=\frac{z}{1+|z|} </tex>$ . Demostrar que $<tex> T(\mathcal{C})\subset B(0,1)</tex>$ . ¿Existe $<tex>z</tex>$ tal que $<tex> |T(z)|=1 </tex>$ ?. Analizar en qué son transformados los ejes cartesianos al aplicar $<tex>T</tex>$ .

Punto II

a) Sabiendo que la serie $<tex> \sum_{n=0}^\infty a_n(z-i)^n </tex>$ tiene radio de convergencia igual a 2, decir si es posible, si converge o no en los puntos $<tex>z_1=1+2i,\, z_2=2+i,\, z_3=2+3i</tex>$ .
b) Sea $<tex>\Omega</tex>$ abierto y conexo en $<tex> \mathcal{C} </tex>$ y $<tex> f </tex>$ holomorfa en $<tex> \Omega </tex>$ con $<tex> |f(z)| \leq M\, \forall z\in\Omega </tex>$ . Probar que $<tex> |f^{(n)}(z_0)|\leq\frac{n!}{r^n}M \quad \forall z_0\in\mathcal{C},\forall r: B_r(z_0)\subset\Omega </tex>$ .
c) Para $<tex> f(z)=\frac{z-1}{z^2-2z-3} </tex>$ . determinar cuántos desarrollos distintos en potencias de $<tex> z-2 </tex>$ admite y en qué región del plano tiene validez cada uno de ellos. Hallar el desarrollo que converge en $<tex> z=0 </tex>$ .

Punto III

a) Clasificar en $<tex> \widehat{\mathcal{C}} </tex>$ las singularidades de $<tex> f(z)=\frac{senz^2}{(senz)^2} </tex>$ .
b) Si $<tex> z=0 </tex>$ es polo de orden $<tex> m </tex>$ de $<tex> f(z) </tex>$ , hallar $<tex>\mathrm{Res}[\mathrm{sen}(z)\frac{f'(z)}{f(z)},z=0]</tex>$ .
c) Calcular $<tex> \int_{|z|=2\pi+\pi/2} \frac{\cos{z}}{\mathrm{sen}z}dz </tex>$ ¿Y si se integra la misma función sobre la curva $<tex> \gamma_k: |z|=k\pi+\pi/2\, k\in\mathcal{N} </tex>$ ?.

Resolución

Punto I

Parte a

$<tex>f(x+iy)=|xy|^{1/2}+i(x^2+y^2) \quad u(x,y)=|xy|^{1/2} \quad v(x,y)=x^2+y^2</tex>$

$<tex> u_x(0,0)=z\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}=0 </tex>$
$<tex> u_y(0,0)=z\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(0,h)-u(0,0)}{h}=0 </tex>$
$<tex> v_x=2x \quad v_y=2y </tex>$

Las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen, pero no puedo afirmar nada sin asegurarme la diferenciabilidad de $<tex>u</tex>$ . Por definición $<tex> u </tex>$ es diferenciable si existe el límite:

$<tex>\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{|u(x,y)-u(0,0)+x\cdot u_x(0,0)+y\cdot u_y(0,0)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}}</tex>$

Para evaluar si existe este límite elijo un camino arbitrario $<tex>y=ax</tex>$ para acercarme al límite, y si el límite depende de $<tex>a</tex>$ entonces, el límite no existe.

$<tex>\lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{\frac{ax^2}{x^2+ax^2}}=\sqrt{\frac{a}{a^2+1}}</tex>$ que depende de a, entonces: no existe el límite doble y $<tex> u </tex>$ no es diferenciable en $<tex>(0,0)</tex>$ .

Por lo tanto no podemos usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ese punto. Entonces hay que calcular la derivada por definición:

$<tex> \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \mathop{\lim_{h_1\to 0}}_{h_2\to 0} \frac{ |h_1h_2|^{1/2}+i \left( h_1^2+h_2^2 \right) }{h_1+ih_2} </tex>$

Para demostrar que este límite no existe usaremos la misma técnica que antes. Haremos que $<tex> h_2=kh_1 </tex>$ entonces:

$<tex> \lim_{h_1\to 0} \left[ \frac{|k|^{1/2}|h_1|}{(1+ki)h_1} + i \underbrace{\left( \frac{1+k^2}{1+ki} \right) h_1}_{\rightarrow 0} \right] </tex>$

Pero este límite no existe pues:

$<tex> \left\{ \begin{array}{lccc} \displaystyle\lim_{h_1\to 0^+} & (...) & = & \displaystyle\frac{|k|^{1/2}}{1+ki} \\ \displaystyle\lim_{h_1\to 0^-} & (...) & = & \displaystyle\frac{-|k|^{1/2}}{1+ki} \end{array} \right\} \Rightarrow \not\exists f'(0) </tex>$

Entonces f no es derivable en 0.

Parte b

Sea $<tex> u(x,y)=e^{\cos{x}Chy}\cos(senxShy) </tex>$ .

Consideremos $<tex>f(z)=e^{\cos{z}}</tex>$ . Desarrollando $<tex>\cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=Chy\cos{x}-i\, Shy\, senx</tex>$

Entonces: $<tex>f(z)=e^{Chy\cos{x}-i\, Shy\, senx}=e^{Chy\cos{x}} \left[ \cos{(Shy\, senx)} -i\,sen (Shy\, senx) \right] </tex>$

Se observa entonces que $<tex> u(x,y)=\mathrm{Re}[f(x+iy)] </tex>$ . Además $<tex>f</tex>$ es enter por ser composición de funciones enteras. Por lo tanto se puede afirmar que $<tex>u</tex>$ es armónica $<tex>\forall z\in\mathcal{C}</tex>$ .

La conjugada armónica será entonces la parte imaginaria, es decir: $<tex>v(x,y)=-e^{\cos{x}Chy}sen(senxShy) </tex>$ es conjugada armónica.

Parte c

$<tex>T(z)=\frac{z}{1+|z|}</tex>$

Si $<tex>z=\rho e^{i\theta}</tex>$ , entonces: $<tex>\omega=T(z)=\frac{\rho e^{i\theta}}{1+\rho}\Rightarrow |\omega|=\frac{\rho}{1+\rho}</tex>$ que es siempre menor que 1. Entonces $<tex>\forall z\in\mathcal{C}\, T(z)\in B(0,1)</tex>$

Además no existe ningún $<tex>z:|T(z)|=1</tex>$ pues $<tex>\frac{\rho}{1+\rho}\neq 1\forall \rho >0</tex>$ .

Por último el eje real se transforma según: $<tex>T(x)=\frac{x}{1+|x|}</tex>$ Entonces se transforma en el segmento (-1,1) del plano uv. El eje imaginario $<tex>T(ix)=\frac{ix}{1+|x|}</tex>$ , es decir que se transforma en el segmento (-i,i) del plano uv.

Punto II

Parte a

El teorema del Radio de Convergencia nos dice que si una serie de potencias $<tex> \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n </tex>$ tiene radio de convergencia igual a $<tex> R </tex>$ , entonces $<tex> \forall z:|z-z_0|>R </tex>$ la serie diverge y que $<tex> \forall z:|z-z_0|<R </tex>$ la serie converge absoluta y uniformemente a una función holomorfa. Si $<tex>|z-z_0|=R</tex>$ no puedo asegurar la convergencia ni la divergencia en $<tex>z</tex>$

En este caso $<tex>z_0=i \quad R=2 \quad z_1=1+2i \quad z_2=2+1 \quad z_3=2+3i</tex>$ , entonces:
$<tex>|z_1-z_0|=|1+i|=\sqrt{2}<2\Rightarrow\mbox{Converge}</tex>$
$<tex>|z_2-z_0|=|2|=2\Rightarrow\mbox{No se puede predecir}</tex>$
$<tex>|z_3-z_0|=|2+2i|=\sqrt{8}>2\Rightarrow\mbox{No Converge}</tex>$

Parte b

Sea $<tex> r: B_r(z_0)\subset\Omega </tex>$ Como $<tex> f </tex>$ es holomorfa en \Omega abiero y conexo vale la fórmula integral de Cauchy:

$<tex>f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz</tex>$

Aplicando módulos: $<tex> \left| f^{(n)}(z_0) \right| = \frac{n!}{2\pi r^{n+1}} \left| \int_{B_r(z_0)}f(z)dz \right| </tex>$

Ahora aplicando la desigualdad ML: $<tex>\left| f^{(n)}(z_0) \right| \leq \frac{n!}{2\pi r^{n+1}}M2\pi r=\frac{n!M}{r^n}</tex>$

Parte c

$<tex>f(z)=\frac{z-1}{z^2-2z-3}=\frac{z-1}{(z+1)(z-3)}</tex>$

Tiene 2 polos simples (en 3 y en -1), por lo tanto si lo queremos desarrollar alrededor de $<tex> z=2 </tex>$ tendrá tres desarroollos en series de Laurent, uno en cada corona circular de centro $<tex> z=2 </tex>$ que no toque las singularidades.

Si me piden el que converge en $<tex> z=0 </tex>$ , me están pidiendo el que converge en $<tex> 2<|z-2|<3 </tex>$ .
Haciendo fracciones simples llegamos a:

$<tex> f(z)=\frac{1/2}{z+1}+\frac{1/2}{z-3} </tex>$ . Entonces puedo sacar la serie que converge a cada término y la función convergerá en la intersección de las regiones de convergencia.

$<tex>f(z)=\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z-2+3}=\frac{1}{3(1+\frac{z-2}{3})}=\frac{1}{3}\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\left( \frac{z-2}{3} \right)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(z-2)^k}{3^{k+1}}</tex>$ que converge cuando $<tex>|z-2|<3</tex>$

$<tex>f(z)=\frac{1}{z-3}=\frac{1}{z-2-1}=\frac{1}{(z-2) \left( 1-\frac{1}{z-2} \right) }</tex>$ $<tex>=(z-2)^{-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z-2)^k}=\sum_{k=0}^\infty (z-2)^{-k-1} </tex>$ que converge cuando $<tex>|z-2|>1</tex>$

$<tex>f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(z-2)^k}{2\cdot 3^{k+1}}+\sum_{k=0}^\infty \frac{(z-2)^{-k-1}}{2}</tex>$

Para escribir la serie de Laurent consideramos entonces: $<tex>f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-2)^n </tex>$ con
$<tex> a_n= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2} & n<0 \\ \frac{(-1)^n}{2\cdot 3^{k+1}} & k\geq 0 \end{array} \right. </tex>$

Punto III

Discusión

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