Apunte Teórico de Análisis Matemático III B

Este apunte es para el curso de Gonzalez. (Turno de la mañana)

Definición: Límite de una sucesión. Sea
Diremos que (o converge) sii

Si no converge diremos que diverge.

Propiedades: Sea

1. 
2. Si
   • 
   • 
   • 
   • 

Definición: es acotada sii

Proposición:

Definiciones:

1. Entornos en . Sea Se definen:
   • 
   • 
2. Límite de una función: Sean . Diremos que la función converge, o que sii

Propiedades: Sean

Definición: es continua en sii

Propiedades: Sea :

Definiciones:

Definición: Sea

Proposición:

D)

Definiciones:

Teorema de Cauchy-Riemann: Sea : Si es derivable en que verifican en , y además

D)

Observación:

1. La recíproca del teorema se cumple si
2. Si podemos escribir: . Entonces podemos escribir las ecuaciones de Cauchy-Riemann como:

D)

Observación: Si un conjunto es abierto las cuatro definiciones anteriores son equivalentes. Por lo tanto cuando se diga abierto y conexo se puede referir a cualquiera de las cuatro definiciones anteriores.

Proposición: Sea holomorfa en abierto y conexo. Entonces:

D)(del item 1) Entonces: Se puede demostrar lo mismo para la segunda coordenada y para . Por lo tanto, usando el camino por poligonales, se demuestra que para cualquier par de puntos .

Se definen las siguientes funciones elementales:

• Función exponencial
  

Con esta definición se cumple Se usará también

• Funciones trigonométricas , y
• Funciones hiperbólicas , y
• Función logarítmica Es una función multiforme, pues la función argumento devuelve infinitos valores para el mismo número complejo.
  

Definición: Dada una función multiforme definida en , una rama es una función (uniforme) holomorfa en y

Por lo tanto si uno toma una rama de la función argumento, está tomando una rama del logaritmo. Si uno elige el argumento principal, está eligiendo la rama principal del logaritmo.

• Potencia compleja que también es una función multiforme.

Una homografía es una función .

Cumplen la propiedad de ser composición de transformaciones elementales. Transforma rectas y circinferencias en rectas o circunferencias.

Teorema Dados , existe una única homografía tal que y se cumple que con:

Definición: Se dice que una transformación es conforme en si para todo par de curvas que se intersecan en conserva el ángulo entre ellas (tanto en magnitud como en sentido).

Observación: Si es conforme en . La vuelta sólo es válida si es derivable en .

Definición: Integral compleja de variable real Sea se define:

• Una curva de es un conjunto . Se denomina puntos inicial y final de la curva respectivamente. La curva se denomina curva inversa.
  

• Una curva se denomina cerrada sii . Se denomina simple sii
  

• Si se dice que es curva diferenciable (o arco diferenciable).
  

• Si existe una partición tal que es curva diferenciable., se dice que es una curva diferenciable a tramos o contorno.
  

Definición: Integración de una función compleja.

1. Sea curva diferenciable, continua sobre , se define:
2. Sea diferenciable a trozos, entonces

Fórmula de mayoración: Sea continua sobre (contorno) y , entonces: donde es la longitud de la curva.

D)

Definición: Sea holomorfa en . Una función holomorfa en es una primitiva de sii .

Prop: Dos primitivas de una misma sobre un dominio difieren en una constante. D) Supongamos que y son primitivas de

Teorema: (Regla de Barrow generalizada) Sea primitiva de en (dominio) y un controno de con punto inicial y punto final . Entonces: .

D) Sea …

Definición: Un dominio se dice simplemente conexo si todo contorno simple cerrado contenido en tiene en su interior sólo puntos de .

Teorema de Cauchy-Goursat Sea abierto y conexo con (curva) cerrada. Si es holomorfa en y continua sobre , entonces .

D) Entonces:
En la penúltima igualdad se usó el Teorema de Green y en la última el de Cauchy-Riemann.