materias:61:10:parcial_amiii-17-06-14 [Foros-FIUBA::Wiki]

Analisis III Primer recuperatorio - 17 de junio de 2014

1. Analizar convergencia y calcular la integral $<tex>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{sin(x)}{(9x+x^3)} \, dx </tex>$

2. Resolver la ecuación del calor en estado estacionario en el recinto $<tex>{(x,t) \in {\rm I\!R} ^2 : [0,\pi] \times [0,1]}</tex>$ con las condiciones de contorno del pizarrón.

$<tex>\phi(0,t)=0 </tex>$ $<tex>\phi(\pi,t)=0 </tex>$ $<tex>\phi(x,1)=sin(2x)</tex>$ $<tex>\phi(x,0)=0 </tex>$

3. a) Hallar el desarrollo de Laurent en potencias de $<tex>(z+2)</tex>$ : $<tex> \sum_{-\infty}^{\infty} C_n (z+2)^n </tex>$ de la función $<tex>f(z)= \frac{1}{1-z}- sinh\frac{\pi}{z+2}</tex>$ , de manera que la serie $<tex> \sum_{-\infty}^{\infty} |C_n| </tex>$ converja y calcular su suma. Dar el dominio de convergencia de dicho desarrollo. b) ¿Qué tipo de singularidad tiene la función $<tex>f(z)</tex>$ en $<tex>z=-2</tex>$ y cuánto vale su residuo?

4. Hallar el desarrollo de Fourier de $<tex>f(z) =\left\{ \begin{array}{ll}0 & \mbox{si } -\pi < t < 0 \\t^2 & \mbox{si } 0 \leq t < \pi\end{array} \right. </tex>$

Analizar la convergencia puntual $<tex>\forall t</tex>$ y calcular la suma $<tex>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n^2} </tex>$

5. a) Es posible que la función $<tex>h(x) = e^{x^2 - y^2} sin(2xy)- \frac{y}{x^2 - y^2} </tex>$ sea la parte real de una función analítica $<tex>\psi(z) = \zeta(z) + \phi(z) </tex>$ ? Justificar adecuadamente. b) Calcular $<tex>\oint_{|z-i|=2} \frac{\psi(z)}{(z^2 +4)}dz </tex>$

PDF: analisis-iii-17062014.pdf