Primer Parcial 24/10/2006 - Cátedra Isaacson

2006 - Cátedra Isaacson

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Enunciado

Utilizar la fórmula integral de Cauchy, para demostrar que:
$<tex>\int_0^{2\pi} \sin^2(\pi/2 + 3e^{it}) \, dt = 2\pi</tex>$ y $<tex>\int_0^{2\pi} \cos^2(\pi/2 + 3e^{it}) \, dt = 0</tex>$
Dada $<tex>f(z) = \frac{e^z - 1 -z}{z^n}</tex>$ , $<tex>n \in \mathbf Z</tex>$ , determinar:
1. Para qué valores de $<tex>n</tex>$ , la serie de Laurent de $<tex>f(z)</tex>$ tiene sólo términos de exponente no negativo y dar el radio de convergencia.
2. Para qué valores de $<tex>n</tex>$ , $<tex>z=0</tex>$ es polo de $<tex>f(z)</tex>$ de orden $<tex>k</tex>$ . Hallar en ese caso la serie de Laurent en un entonrno de $<tex>z=0</tex>$ .
3. Analizar el comportamiento de $<tex>f(z)</tex>$ en infinito y hallar, si existe, su correspondiente expansión en serie.
Hallar el desarrollo de Laurent de $<tex>f(z)=\frac{\log(z)}{z+1}</tex>$ , válido en $<tex>o<|z+1|<r</tex>$ , considerando la determinación de $<tex>\log(z)</tex>$ tal que $<tex>\log(-1)=i\pi</tex>$ , definida en $<tex>\mathbf C-\{z=x,x\geq0\}</tex>$ . Determinar $<tex>r</tex>$ y $<tex>Res[f(z), z=-1]</tex>$ .
Hallar $<tex>f(z)</tex>$ holomorfa salvo en $<tex>z=1 \mbox{ y } z=4</tex>$ donde tenga polos simples, tal que $<tex>Res[f(z), z=4]=-1</tex>$ , tenga un cero de orden uno en infinito y $<tex>\int_{|z|=5} f(z)\, dz=8i</tex>$ .
Analizar convergencia y calcular $<tex>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \alpha x}{1+e^x}\, dx</tex>$ .

Resolución

Punto I

La clave de este ejercicio es darse cuenta que la integral ya está parametrizada. Para poder usar la Fórmula Integral de Cauchy hay que desparametrizar.

La parametrización es: $<tex>z=3e^{it}</tex>$ . Con lo cual, $<tex>dz=3ie^{it}dt</tex>$ y $<tex>dt=\frac{dz}{iz}</tex>$ .

La primer integral ahora es

$<tex>\oint_{|z|=3} \frac{\sin^2(\pi/2 + z)}{iz} \, dz = \frac{1}{i} \oint_{|z|=3} \frac{\sin^2(\pi/2 + z)}{z} \, dz</tex>$ .

Como $<tex>f(z)=\sin^2 (\pi/2 + z)</tex>$ es análitica sobre y en el interior de $<tex>|z|=3</tex>$ , por la Fórmula Integral de Cauchy:

$<tex>\frac{1}{i} \oint_{|z|=3} \frac{\sin^2(\pi/2 + z)}{z} \, dz = \frac{1}{i}2 \pi i f(0) = 2\pi \sin^2(\pi/2 +0) = 2\pi</tex>$ .

De la misma forma, para la otra integral se tiene:

$<tex> \int_0^{2\pi} \cos^2(\pi/2 + 3e^{it}) \, dt = \frac{1}{i} \oint_{|z|=3} \frac{cos^2(\pi/2 + z)}{z} \, dz = \frac {1}{i} 2\pi i cos^2 (\pi/2 + 0) = 0</tex>$ .

Discusión

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