Examen (Parcial) - 61.10. Analisis Matemático III A
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
- Discusión

Examen (Parcial) - 61.10. Analisis Matemático III A

Cátedra: Isaacson
Fecha: 22/06/06 3° Fecha - (1° Cuatrimestre 2006

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Enunciado

Sea $<tex>f(z) </tex>$ analítica en $<tex>C - \{0\} </tex>$ tal que $<tex> \lim_{|z|\rightarrow\infty}|f(z)|=0</tex>$ . Mostrar que la serie de Laurent de $<tex>f(z)</tex>$ alrededor de $<tex>z=0</tex>$ solo tienen términos con potencias de $<tex> z </tex>$ negativas.
Si $<tex>f(z)=(z-a) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}(z-a)^{n}</tex>$ y $<tex>g(z) </tex>$ es analítica salvo en $<tex>z=0</tex>$ donde tienen un polo simple con residuo $<tex>-5/3</tex>$ , analizar qué tipo de singularidad es $<tex>z=a</tex>$ para $<tex>g(f(z)) </tex>$ y hallar $<tex>\mbox{Res}[g(f(z)),z=a]</tex>$
Transformar la región $<tex>R=\{x,y/1 \leq x \leq 2 ;0\leq y \leq \pi \}</tex>$ a tra vez de la función $<tex>f(z)=e^{z}</tex>$
Sea la función $<tex>f(z)=\frac{1}{z^{2}\sinh{(z)}}</tex>$ .
1. Clasificar la singularidad en el origen.
2. Calcular la integral $<tex>\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2\sinh{(z)}}</tex>$

Si f(z) es analitica para |z|>0 entonces en el entorno de z=0 f(z) se puede escribir como: $<tex>F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z)^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{(z)^{n}}</tex>$ Si tomo el módulo a cada lado de la igualdad: $<tex>|f(z)|=|(a_0+ a_1z+ a_2z^{2}+ .\ .\ .)+(\frac{b}{z}+\frac{b_1}{z}+\frac{b_2}{z^{2}+ . \ .\ .})|</tex>$ Por la desigualdad de : $<tex>|f(z)|=(|a_0|+ |a_1||z|+| a_2||z^{2}|+ .\ .\ .)+(\frac{|b|}{|z|}+\frac{|b_1|}{|z|}+\frac{|b_2|}{|z^{2}|}+ . \ .\ .)</tex>$ $<tex>\lim_{|z| \rightarrow\infty} |f(z)|=( \lim_{|z| \rightarrow\infty} |a_0|+\lim_{|z| \rightarrow\infty} |a_1||z|+\lim_{|z| \rightarrow\infty} | a_2||z^{2}|+ .\ .\ .)+( \lim_{|z| \rightarrow\infty} \frac{|b|}{|z|}+\lim_{|z| \rightarrow\infty} \frac{|b_1|}{|z|}+\lim_{|z| \rightarrow\infty} \frac{|b_2|}{|z^{2}|}+ . \ .\ .)</tex>$

Todos los terminos de potencias negativas tienden a cero cuando z se acerca al infinito. Para que la condicion inicial de $<tex>\lim_{|z|\rightarrow\infty}|f(z)|=0</tex>$ se cumpla entonces se debe cumplir que los $<tex>|a_n|=0</tex>$ .

La ecuación inicial se puede escribir: $<tex>F(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{(z)^{n}}</tex>$

Punto II

Escribo a $<tex>g(z) </tex>$ como $<tex>g(z)=\frac{-5/3}{z}+h(z)\mbox{ (h(z) no tiene singularidades en z=0)} </tex>$ . $<tex>f(z)=(2(z-a)+2(z-a)^{2}+\frac{4(z-a)^{3}}{3}+\cdots)</tex>$

$<tex>\frac{\frac{-5}{3}}{(2(z-a)+2(z-a)^{2}+\frac{4(z-a)^{3}}{3}+\cdots)}=\frac{-5}{6(z-a)}+\frac{5}{6}-\frac{5(z-a)}{18}+\cdots</tex>$

entonces: $<tex>g(f(z))=( \frac{5}{6(z-a)} +\frac{5}{6}-\frac{5(z-a)}{18}+\cdots)+h(f(z)) </tex>$

Como lo definí al comienzo, $<tex>h(z) </tex>$ no tiene singularidades en $<tex>z=a</tex>$ , a lo sumo tendrá ceros. Puedo decir entonces que $<tex>g(f(z)) </tex>$ tiene un polo simple en $<tex>z=a</tex>$ y el $<tex>\mbox{Res}[g(f(z)),z=a]=\frac{-5}{6}</tex>$

Discusión

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