Primer Parcial 05/07/2005 - Cátedra Isaacson
- Enunciado
Resolución
- Punto I
- Discusión

2005 - Cátedra Isaacson

Enunciado

Calcular la integral $<tex>\int_0^{\infty} \frac{x^2 dx}{ \left( x^2+1 \right) \left(x^2+4 \right) }</tex>$ . Justificar.
1. Hallar los tres primeros términos del desarrollo en serie de la función $<tex>f(z)=\frac{1}{e^z - 1}</tex>$ alrededor de $<tex>z=0</tex>$ y determinar la región de convergencia.
2. Calcular $<tex>\int_{|z|=1} \frac{dz}{e^z-1}</tex>$ .
Transformar la región $<tex>z=x+iy</tex>$ , con $<tex>x \geq 0</tex>$ e $<tex>y \geq 0</tex>$ , a través de la función $<tex>m(z) = \frac{1}{z^2+1}</tex>$ .
1. Sea $<tex>f(z)</tex>$ entera, $<tex>f(z) \not= 0 \! \forall z \in \mathbf{C}</tex>$ y $<tex>f(i+1) \not= f(2i)</tex>$ , ¿Qué puede decir sobre su desarrollo en serie? ¿Qué tipo de singularidad tiene en $<tex>z = \infty</tex>$ ?
2. Si $<tex>\Gamma</tex>$ es la curva que limita una región $<tex>A</tex>$ , hallar la relación entre $<tex>\oint_{\Gamma} \overline{z} dz</tex>$ y el área de $<tex>A</tex>$ .
$<tex>P(z)</tex>$ es un polinomio de grado $<tex>n</tex>$ que no tiene ceros en $<tex>|z| \geq R</tex>$ , $<tex>(R>0)</tex>$ . Si $<tex>\mathbf{C}</tex>$ es la circunferencia $<tex>|z| = R</tex>$ , calcule $<tex>\frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{P'(z)}{P(z)} dz</tex>$ .

Resolución

Punto I

Sabiendo que $<tex>g(x)=x^2</tex>$ , $<tex>h(x) = (x^2 + 1)</tex>$ y $<tex>p(x) = (x^2 + 4)</tex>$ son funciones pares se puede afirmar que:

$<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\, dx</tex>$

Por lo tanto resulta conveniente calcular:

$<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\, dx</tex>$

Para ello se pasa a la variable compleja de la siguiente manera:

$<tex>\oint_{\gamma_r} f(z)\, dz = \oint_{\gamma_r} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz = 2\pi i \sum_{n = 1}^k \mathnormal{Res} [f(z),z_n]</tex>$

Conociendo las singularidades $<tex>z = \pm i</tex>$ Y $<tex>z = \pm 2i</tex>$ .Se calculan los residuos según el gráfico en $<tex>z = i</tex>$ y $<tex>z = 2i</tex>$ :

Para $<tex>z = i</tex>$

$<tex> \phi(z) =\frac{z^2}{(z + i)(z + 2i)(z - 2i)} \Rightarrow \phi(i) = \frac{-1}{6i}</tex>$

Para $<tex>z = 2i</tex>$

$<tex> \phi(z) =\frac{z^2}{(z + i)(z - i)(z + 2i)} \Rightarrow \phi(i) = \frac{4}{12i}</tex>$

$<tex>\Rightarrow 2\pi i \sum_{n = 1}^k \mathnormal{Res} [f(z),z_n] = 2\pi i(\frac{-1}{6i}+\frac{4}{12i}) = \frac{\pi}{3}</tex>$

Sabiendo que:

$<tex>\oint_{\gamma_r} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz = \int_{\mathcal{C}} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz + \int_{-\mathcal{R}}^{+\mathcal{R}} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}</tex>$

$<tex>\Rightarrow \int_{\mathcal{C}} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz + \int_{-\mathcal{R}}^{+\mathcal{R}} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{3}</tex>$

Si hacemos el cambio de variable $<tex> z = R e^{i \theta} </tex>$ obtenemos:

$<tex> dz = i R e^{i \theta} d \theta </tex>$

$<tex> \int_{\mathcal{C}} \frac{z^2 dz}{ \left( z^2 + 1 \right) \left( z^2 + 4 \right) } = \int_{\mathcal{C}} \frac{R^2 e^{2i \theta} i R e^{i \theta} d \theta}{ \left( R^2 e^{2i \theta} + 1 \right) \left( R^2 e^{2i \theta} + 4 \right) } = \int_{\mathcal{C}} \frac{R^3 e^{3i \theta} i d \theta}{ R^4 e^{4i \theta} + 5 R^2 e^{2i \theta} + 4} </tex>$

Y si tomamos el límite para cuando $<tex> \mathcal{R} </tex>$ tiende a infinito:

$<tex> \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{R^3 e^{3i \theta} i d \theta}{ R^4 e^{4i \theta} + 5 R^2 e^{2i \theta} + 4} = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{R^3 e^{3i \theta} i d \theta}{ R^4 \left( e^{4i \theta} + \frac{5 R^2 e^{2i \theta}}{R^4} + \frac{4}{R^4} \right) } = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{e^{3i \theta} i d \theta}{ R \left( e^{4i \theta} + \frac{5 e^{2i \theta}}{R^2} \right) } = ... </tex>$

$<tex> ... = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{ e^{3i \theta} i d \theta}{ R \left( e^{4i \theta} \right) } = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \frac{1}{R} \int_{\mathcal{C}} \frac{ i d \theta}{ e^{i \theta} } = 0 </tex>$

Entonces, cuando $<tex>R</tex>$ tiende a infinito, $<tex>\int_{\mathcal{C}} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz</tex>$ tiende a cero.

Por lo tanto queda:

$<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{3}</tex>$

$<tex>\Rightarrow \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}</tex>$

Discusión

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