Parcial 9/05/2006 - Cátedra Anaya
- Enunciado
- Resolución

2006 - Cátedra Anaya

Enunciado

Dadas las regiones $<tex>D_I = \{z / |z-1| < \sqrt{2}\}</tex>$ , $<tex>D_{II} = \{z / |z+1| < \sqrt{2}\}</tex>$ , $<tex>D = D_I \cap D_{II}</tex>$ Encontrar una función armónica en $<tex>D</tex>$ cuyo valor en la parte de la frontera correspondiente a $<tex>D_1</tex>$ sea constante igual a 1 y en la correspondiente a $<tex>D_{II}</tex>$ sea 2. Indicar si la función hallada es única. Justificar.
1. Encontrar el desarrollo de Laurent en potencias de $<tex>z</tex>$ de $<tex>f(z) = \frac{(z+1)^2}{z^2+1}</tex>$ convergente en $<tex>z = 2</tex>$
2. Caracterizar la Serie de Laurent en torno a $<tex>z = 0</tex>$ de las funciónes holomorfas para $<tex>z \not= 0 </tex>$ con $<tex>\lim_{z \to \infty} = \infty</tex>$ y $<tex>\lim_{z \to 0} = \infty </tex>$
1. Clasificar las singularidades de $<tex>f(z) = \frac{\pi z (1-z^2)}{\sin(\pi z)}</tex>$ en $<tex>\mathbf C^*</tex>$ y informar acerca del $<tex>Res(f,0)</tex>$ , $<tex>Res(f, \infty)</tex>$
2. Calcular $<tex>\oint_\gamma \sqrt[3]{z-1} \frac{f(z)}{z} </tex>$ siendo $<tex> \gamma</tex>$ la circunferencia $<tex> z : | z | = \frac{1}{2} </tex>$ orientada en sentido antihorario, y si se considera la determinación de $<tex>\sqrt[3]{z}</tex>$ holomorfa en $<tex>\mathbf C - \{ z=iy, y>0\}</tex>$ cuyo valor en 8 es 2.
1. Estudiar la convergencia de la integral $<tex> I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^p}{x^{2p} + 1} \sin(ax) dx</tex>$ $<tex>\forall p \in \mathbf R , a \in \mathbf R</tex>$
2. Calcular la integral para $<tex>p = -1</tex>$
Sea $<tex>a_n</tex>$ una sucesión en $<tex>\mathbf C</tex>$ tal que existe $<tex>M > 0, r > 0 / \forall n \in \mathbf N |a_n| < M r^{-n} </tex>$
Encontrar un entorno de $<tex> z = 0</tex>$ en el que $<tex>\sum_{n=0}^\infty a_n z^n</tex>$ defina una función holomorfa. Justificar.

a) $<tex>f(z) = \frac{(z+1)^2}{z^2+1}</tex>$
$<tex>f(z) = \frac{z^2+2z+1}{z^2+1}</tex>$
$<tex>f(z) = 1 + \frac{2z}{z^2+1}</tex>$
Voy a llamar $<tex>g(z) = \frac{2z}{z^2+1}</tex>$
Por lo tanto sacando como factor comun en el denominador a $<tex>z^2</tex>$ queda: $<tex>g(z) = \frac{1}{z(1-(-1/z^2))}</tex>$
Esta funcion la puedo expresar como serie geométrica siempre y cuando $<tex>|1/z^2| <1</tex>$
Por lo tanto $<tex>|z| >1</tex>$ que es la región que me estaban pidiendo
Entonces $<tex>g(z) = z^{-1} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-2n}</tex>$
$<tex>g(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-(2n+1)}</tex>$
Nosotros teniamos que $<tex>f(z) = 1 + g(z)</tex>$
Por lo tanto:
$<tex>f(z) = 1 + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-(2n+1)}</tex>$

b)
Que la función holomorfa tenga límite infinito en el origen y en el punto infinito, significa que en esos puntos estan los polos de la función.
Suponiendo que $<tex>z_0 =0</tex>$ es un polo de orden k y el $<tex>z_0 =\infty</tex>$ es un polo de orden j. Por la definición de polo podemos representar a una serie de este estilo como:
$<tex>f(z) =\sum_{n=-k}^j a_n z^n</tex>$

Queda pendiente la resolución para la próxima entrega, y gracias al que cambió el estilo del enunciado.

Parcial 9/05/2006 - Cátedra Anaya

Enunciado

Resolución

Resolución Ejercicio 2