Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV

Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA

Cátedra: Isaacson
Día: 17/02/2009

Hallar $<tex>g(z_0)</tex>$ si $<tex>g(z)</tex>$ es entera, $<tex>f(z)</tex>$ holomorfa salvo en $<tex>z_0</tex>$ donde tiene un polo de orden $<tex>m</tex>$ y $<tex>\int_{|z-z_0| = 1} g(z) \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = \pi </tex>$ . Justificar claramente todos los pasos.

Punto II

a

Hallar el desarrollo en Serie de Fourier de senos de $<tex>f(x) = 1 </tex>$ , $<tex> x \in (0,2) </tex>$ por derivación del desarrollo en Serie de Fourier de una función adecuada, justificando por qué dicha derivación es posible.

b

Hallar, si es posible, a partir de a): $<tex>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n +1 } </tex>$

Punto III

a

Si $<tex>\mathcal{F}[f(t)](w) = \frac{1}{w^2 +1}</tex>$ , sin antitransformar hallar la Transformada de Fourier de $<tex>f'(4t) - 6f(3t -2) </tex>$ enunciando las hipotesis necesarias.

b

Hallar $<tex>f</tex>$ y $<tex>g</tex>$ tales que:

$<tex>\int_0^{\infty} f(t)sin(xt) \, dt = e^{-x}</tex>$ , $<tex>\int_0^{\infty} g(t)cos(xt) \, dt = e^{-x}</tex>$ , $<tex> x > 0 </tex>$

Punto IV

a

Hallar $<tex>\mathcal{L}[f^{(n)}(t-a)U(t-a)]</tex>$

b

Resolver:

$<tex> y' + 3y + 2 \int_0^t y \, dt = f(t)</tex>$ , $<tex>y(0)=1</tex>$ , siendo $<tex>f(t)=2</tex>$ si $<tex> 1 \leq t \leq 2 </tex>$ , $<tex>f(t) = 0</tex>$ si $<tex> t \notin (1,2)</tex>$