Integrador 8/03/2006 - Cátedra Isaacson
- Enunciado
- Resolución

2006 - Cátedra Isaacson

Enunciado

Resolver utilizando Transformada de Laplace:
$<tex>u_{tt} = 4 u_{xx}</tex>$ , $<tex>t > 0</tex>$ , $<tex>x > 0</tex>$
$<tex>u(0,t) = u_x (0,t) = 0</tex>$ , $<tex>u(x,0) = \sin(\pi x)</tex>$ , $<tex>u_t (x,0) = \cos (\pi x)</tex>$
Hallar $<tex>u(1,1)</tex>$ .
Se sabe que $<tex>\sum_{1}^{\infty} b_n \sin (nx)</tex>$ es la Serie de Fourier de $<tex>f(x) = { \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }^2</tex>$ , $<tex>x \in \left[ 0 , p \right]</tex>$ .
1. Determinar $<tex>p</tex>$ .
2. Graficar la función a la que converge la Serie en $<tex>\mathcal{R}</tex>$ y determinar el tipo de convergencia.
3. ¿En cuántos puntos del intervalo $<tex>\left[ 0 , 3 \pi \right]</tex>$ se anula la serie?
Si las transformadas de $<tex>f(t)</tex>$ , $<tex>g(t)</tex>$ y $<tex>r(t)</tex>$ son $<tex>\widehat f (\omega)</tex>$ , $<tex>\widehat g (\omega)</tex>$ y $<tex>\widehat r (\omega)</tex>$ respectivamente, mostrar que la solución de la ecuación
$<tex>f(t) = g(t) + \int_{- \infty}^{\infty} f(u) r(t-u) du</tex>$
está dada por $<tex>f(t) = \frac{1}{2 \pi } \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\widehat g (\omega)}{1 - \widehat r (\omega)} e^{i \omega t} d \omega</tex>$ .
Establecer las hipótesis necesarias.
1. Demostrar que $<tex>\mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = X(z) Y(z)</tex>$ .
2. Demostrar que si $<tex>x(n)</tex>$ e $<tex>y(n)</tex>$ son dos señales causales (esto es $<tex>x(n) = y(n) = 0</tex>$ si $<tex>n < 0</tex>$ ), entonces:
  $<tex>\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{ k = 0}^{n} x(k) y(n-k)</tex>$ .
3. Usar el punto II para demostrar que si $<tex>H(z) = \frac{z^2}{ \left( z - e^a \right) \left( z - 1 \right)}</tex>$ , $<tex>a > 0</tex>$ , $<tex>|z| > e^a</tex>$ , entonces $<tex>h(n) = \frac{1- e^{a(n+1)}}{1-e^a}</tex>$ .

Resolución

1
2
3
4
1. I $<tex>\mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ x(n) \ast y(n) \right] z^{-n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) \right] z^{-n}</tex>$
- Intercambiando el orden de las sumatorias (no se como probar que esto es válido, es un truco algebraico):
  $<tex>\sum_{k = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) z^{-n} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} y(n-k) z^{-n} \right]</tex>$
- Haciendo el cambio de variable $<tex>p = n - k</tex>$ :
  $<tex>\sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-(p+k)} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) z^{-k} \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-p} \right] = X(z)Y(z)</tex>$
1. II $<tex>\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) = \sum_{k = - \infty}^{-1} x(k)y(n-k) + \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k) + \sum_{k = n + 1}^{\infty} x(k)y(n-k)</tex>$
- En el último miembro, el primer término se anula porque $<tex>x(k) = 0</tex>$ para $<tex>k < 0</tex>$ y el tercer término se anula porque $<tex>y(n-k) = 0</tex>$ para $<tex>k>n+1</tex>$ . Entonces nos queda:
  $<tex>\left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k)</tex>$