Integrador 28/02/2006 - Cátedra Isaacson
- Enunciado
- Resolución

2006 - Cátedra Isaacson

Enunciado

Sea $<tex>f(t)</tex>$ real y par, periódica de período $<tex>T=2</tex>$ y $<tex>c_n</tex>$ sus coeficientes complejos de Fourier.
1. Demostrar que $<tex>c_0 \in \mathbf{R}</tex>$ y $<tex>c_n=c_{-n} \in \mathbf{R}</tex>$ .
2. Hallar $<tex>f(t)</tex>$ si además se sabe que $<tex>c_n=0</tex>$ si $<tex>\mid n \mid \geq 2</tex>$ , $<tex>\int_{-1}^{1} \mid f(t) \mid^2 dt = 2</tex>$ y $<tex>f \left( \frac{1}{2} \right) = 0</tex>$
Dada la ecuación: $<tex>y(t)= \int_{0}^{t} \frac{1}{2} \left( e^{-2(t-u)} - e^{-3(t-u)} \right) u \sin (5u) du</tex>$ ,
1. Hallar $<tex>Y(s)</tex>$ y graficar la región de convergencia.
2. Hallar la ecuación diferencial y las condiciones iniciales del problema cuya solución es $<tex>y(t)</tex>$ .
1. Demostrar que si $<tex>\mathcal{F} \left[ f(t) \right] = \widehat f (\omega) </tex>$ , entonces $<tex>\mathcal{F} \left[ f(t) \sin (bt) \right] = \frac{1}{2i} \left[ \widehat f (\omega -b) - \widehat f (\omega +b) \right] </tex>$ .
2. Utilizar a) y una propiedad adecuada para hallar $<tex> \widehat f (\omega)</tex>$ , siendo $<tex>f(t) = \frac{\sin (bt)}{a^2 + t^2} \mbox{ y } \mathcal{F} \left[ e^{-a \mid t \mid } \right] = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}</tex>$
Hallar $<tex> Y^{+}(z)</tex>$ , su región de convergencia y la sucesión $<tex>y(n)</tex>$ sabiendo que:
$<tex> y(n) = y(n-1) + y(n-2)</tex>$ , $<tex> y(0)=0 </tex>$ , $<tex> y(1)=1</tex>$ .

Resolución

- La Serie Compleja de Fourier de $<tex>f(t)</tex>$ es $<tex>\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{i n \frac{2 \pi}{T} t}</tex>$ con $<tex>c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{- i n \frac{2 \pi}{T} t} dt</tex>$
- Por la identidad de Euler, tenemos que $<tex>e^{it}=\cos (t) + i \sin (t)</tex>$
- Entonces nos queda:
  $<tex>c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \left[ \cos \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) - i \sin \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) \right] dt</tex>$
- Aplicando propiedad distributiva y linealidad de la integral:
  $<tex>c_n = \frac{1}{T} \left[ \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) dt - i \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) dt \right]</tex>$
- Como $<tex>f(t)</tex>$ y $<tex>cos(t)</tex>$ son funciones pares, y $<tex>sen(t)</tex>$ es una función impar, tenemos lo siguiente:
  El producto $<tex>f(t) \cos (t)</tex>$ será una función par.
  El producto $<tex>f(t) \sin (t)</tex>$ será una función impar.
  La integral de una función impar, en un intervalo de la forma $<tex> \left[ \-a \mbox{;} a \right]</tex>$ será nula.
- Entonces el segundo miembro se anula, y nos queda:
  $<tex>c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) dt</tex>$
1. Al ser $<tex>f(t)</tex>$ una función real, la integral anterior también será real. Por lo tanto $<tex>c_n</tex>$ es real y en particular $<tex>c_{-n}</tex>$ y $<tex>c_0</tex>$ tambien lo serán.
  Como $<tex>\cos (t) = \cos (-t)</tex>$ , evidentemente $<tex>c_n = c_{-n}</tex>$ .
2. Tenemos lo siguiente:
  $<tex>\int_{-1}^{1} \mid f(t) \mid^2 dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) f(t) dt = {\| f(t) \|}^2</tex>$
- También sabemos, por la Identidad de Parseval:
  $<tex>\frac{1}{T} {\| f(t) \|}^2 = \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2</tex>$
- Entonces:
  $<tex>\int_{-1}^{1} \mid f(t) \mid^2 dt = T \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 = 2</tex>$
- Sabiendo que $<tex>c_n = 0</tex>$ si $<tex>| n | \geq 2</tex>$ y $<tex>c_{-n} = c_n</tex>$ , nos quedan las siguientes igualdades:
  $<tex>\sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 = c_{-1}^2 + c_{0}^2 + c_{1}^2 = 2 c_{1}^2 + c_{0}^2 = \frac{2}{T}</tex>$
  y
  $<tex>f(t) = c_{-1}e^{- i \frac{2 \pi}{T} t} + c_{0} + c_{1}e^{i \frac{2 \pi}{T} t} = c_0 + c_{1} \left[ e^{i \frac{2 \pi}{T} t} + e^{- i \frac{2 \pi}{T} t} \right] = c_0 + 2 c_1 \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t \right) </tex>$
- Con el dato $<tex>f \left( \frac{1}{2} \right) = 0</tex>$ , podemos encontrar el valor de $<tex>c_0</tex>$ :

$<tex>f \left( \frac{1}{2} \right) = c_0 + 2 c_1 \cos \left( \frac{\pi}{T} \right) = c_0 + 2 c_1 \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = c_0 = 0</tex>$

Reemplazando $<tex>c_0</tex>$ en la otra ecuación:
$<tex>2 c_1^2 = \frac{2}{T}</tex>$
$<tex>c_1^2 = \frac{1}{2}</tex>$
$<tex>| c_1 | = \sqrt{\frac{1}{2}}</tex>$
Concluyendo, tenemos las siguientes dos soluciones para $<tex>f(t)</tex>$ :
$<tex>f_{1}(t) = \sqrt{2} \cos \left( \pi t \right)</tex>$
$<tex>f_{2}(t) = - \sqrt{2} \cos \left( \pi t \right)</tex>$
Gráficos de las funciones: