Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V

Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA

Cátedra: Isaacson
Día: 08/07/2003

Siendo $<tex>f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1 + 2i)^n \cdot n!}{n^n} \cdot z^n</tex>$ hallar el radio de convergencia r y calcular $<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} ( 2 + z + \frac{1}{z}) f(z) \frac{dz}{z}</tex>$

Punto II

Sea $<tex>f(t)</tex>$ real y par, periódica de período $<tex>T = 2</tex>$ Sus coeficientes de Fourier $<tex>a_k</tex>$ verifican: $<tex>a_k= 0</tex>$ , si $<tex>|k| > 1</tex>$ Si se cumple que: $<tex>\frac{1}{2} \int_0^2 |f(t)|^2 \ dt = 1 </tex>$ y si $<tex>f(\frac{1}{2})=0 </tex>$ , hallar $<tex>f(t)</tex>$ usando la serie exponencial.

Punto III

Si se verifica que $<tex>\phi(t) + \int_0^t (t-x) \phi(x) \ dx = u(t) </tex>$ , demostrar que $<tex>\phi(t) = cos(t)</tex>$

Punto IV

Resolver:

$<tex>u'_t = u'_{xx}</tex>$ $<tex> e \in (0,\pi), t >0 </tex>$

$<tex>u'_x(0,t) = u'_x(\pi,t) = 0</tex>$

$<tex>u(x,0) = e^x</tex>$

Punto V

Si $<tex>F(s) = log(\frac{s^2+9}{s^2+1})</tex>$ , hallar $<tex>f(t)</tex>$

Resolución

Punto I

$<tex>f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1 + 2i)^n \cdot n!}{n^n} \cdot z^n</tex>$

$<tex>u_n = \frac{(1 + 2i)^n \cdot n!}{n^n} \cdot z^n</tex>$

Encuentro el radio de convergencia por Dalambert:

$<tex>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(1+2i)^{n+1}(n+1)! z^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} {\frac{(1+2i)^n n! z^n}{n^n}}</tex>$

$<tex> \Rightarrow |z| < \frac{1}{\sqrt{5}}</tex>$

Escribo los primeros terminos de $<tex>f(z)</tex>$

$<tex>f(z) = (1 +2i)z + \frac{(1+2i)^2}{4} z^2 + ...</tex>$

Resolvemos la integral:

$<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} ( 2 + z + \frac{1}{z}) f(z) \frac{dz}{z} = \int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{2f(z)}{z} \ dz + \int_{|z|=\frac{r}{2}} f(z) \ dz + \int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{f(z)}{z^2} \ dz</tex>$

Resuelvo con la formula integral de Cauchy.

$<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} f(z) \ dz = 0 </tex>$

$<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{2f(z)}{z} \ dz = 4\pi i f(0) = 0</tex>$

$<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{f(z)}{z^2} \ dz = 2\pi i f'(0) = \pi(2i-4)</tex>$

$<tex>\Rightarrow \int_{|z|=\frac{r}{2}} ( 2 + z + \frac{1}{z}) f(z) \frac{dz}{z} = \pi(2i-4)</tex>$

Punto II

Planteo la identidad de Parseval:

$<tex> ||f||^2 = \frac{a_o^2}{2} + \sum_{-\infty}^{\infty} a_k^2 + b_k^2 </tex>$

Como la función es par $<tex>b_k=0 \ \forall \ k</tex>$

Y segun el dato del enunciado: $<tex>a_k= 0</tex>$ si $<tex> |k|>1</tex>$

$<tex>\Rightarrow ||f||^2 = \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 = c_{-1}^2 + c_{0}^2 + c_{1}^2 = 2 c_{1}^2 + c_{0}^2 </tex>$

El otro dato del enunciado es:

$<tex>\frac{1}{2}\int_0^2 |f(t)|^2 \ dt = 1 \rightarrow \frac{1}{2} || f ||^2 = 1 \rightarrow 2 c_{1}^2 + c_{0}^2 = 2 </tex>$

$<tex>f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} C_n \cdot e^{int} = C_{-1} \cdot e^{-i\pi t} + C_o + C_1 \cdot e^{i\pi t} = 2C_1 \cdot (e^{i\pi t} + e^{-i\pi t}) + C_o</tex>$

$<tex>\Rightarrow f(t) = 4C_1 \cdot cos(\pi t) + C_o </tex>$

$<tex>f(\frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow C_o = 0 </tex>$

$<tex>\Rightarrow C_1 = 1 \Rightarrow f(t) = 4 \cdot cos(\pi t)</tex>$

Punto III

$<tex>\phi(t) + \int_0^t (t-x) \phi(x) \ dx = u(t) </tex>$

Aplico la transformada de Laplace:

$<tex>\mathcal{L} [\phi(t)] + \mathcal{L} [\int_0^t (t-x) \phi(x) \ dx] = \mathcal{L} [u(t)]</tex>$

Por propiedades del producto convolución:

$<tex>\mathcal{L} [\phi(t)] + \mathcal{L} [t] \cdot \mathcal [\phi(x)] = \mathcal{L} [u(t)] </tex>$

$<tex> Y(s)(1 + \frac{1}{s^2}) = \frac{1}{s}</tex>$

$<tex> Y(s) = \frac{s}{s^2 +1} </tex>$

Aplico la antitransformada:

$<tex> \Rightarrow \phi(t) = cos(t) </tex>$

Punto IV

Resuelvo por separación de variables:

$<tex> X \cdot T' = X'' \cdot T</tex>$

$<tex> \frac{X''}{X} = \frac{T'}{T} = -\lambda^2</tex>$

Me quedan dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

$<tex> x'' = -\lambda^2 \cdot x</tex>$ y $<tex> t' = -\lambda^2 \cdot t </tex>$

$<tex>\Rightarrow X(x) = A \cdot cos(\lambda x) + B \cdot sen (\lambda x)</tex>$

$<tex>\Rightarrow T(t) = C \cdot e^{-\lambda^2 t} </tex>$

Uso las condiciones iniciales:

$<tex>X'(x) = -\lambda A sen(\lambda x) + \lambda B cos(\lambda x) </tex>$

$<tex>u'_x(0,t) = 0 \rightarrow X'(0) \cdot T(t) = 0 \rightarrow X'(0) = 0 \rightarrow B = 0</tex>$

$<tex>u'_x(\pi ,t) = 0 \rightarrow sen(\pi \lambda) = 0 \rightarrow \lambda = n </tex>$

$<tex>u_n(x,t) = A \cdot C \cdot cos(nx) \cdot e^{-\lambda^2 t} </tex>$

$<tex>u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A \cdot C \cdot cos(nx) \cdot e^{-\lambda^2 t} </tex>$

$<tex>u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot cos(nx) = e^x </tex>$

$<tex>A_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} e^x \cdot cos(nx) dx </tex>$

$<tex>\Rightarrow u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot cos(nx) \cdot e^{-\lambda^2 t}</tex>$

Punto V

$<tex> F(s) = log(\frac{s^2 +9}{s^2 +1})</tex>$

$<tex>F'(s) = (\frac{s^2 +1}{s^2 +9}) (\frac{2s(s^2+1)- 2s(s^2+9)}{(s^2 +1)^2}) </tex>$

$<tex>F'(s) = \frac{2s}{s^2 + 9} - \frac{2s}{s^2 +1} </tex>$

uso la propiedad: $<tex>\mathcal{L} [t \cdot f(t)] = - F'(s) </tex>$

$<tex>\Rightarrow \mathcal{L}^{-1}[F'(s)] = -t \cdot f(t) </tex>$

$<tex>\Rightarrow f(t) = \frac{2cos(t) - 2cos(3t)}{t} </tex>$