Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

2001 - 1er cuatrimestre - Evaluación integradora - 3a oportunidad

P1) Desarrollar $<tex>f(z)= \frac{z+1}{z^2-2z+2}</tex>$ en un $<tex>V(\infty)</tex>$ . Determinar zona de convergencia y calcular $<tex>R(\infty)</tex>$
P2) Resolver $<tex>(1+x^3)y''+x^2y'-4xy = 0</tex>$ en $<tex>V(0)</tex>$
P3) Resolver
$<tex>\left. \begin{array}{ll} \nabla ^2 = 0\\ 1 < \rho < 2 \\ 0 < \varphi < \pi /4 \\\end{array} \right\}</tex>$ $<tex>\left\{ \begin{array}{ll} u(\rho,0)=u(\rho, \pi /4)=0\\ u(1,\varphi)=1 \\ u_{\rho}(2,\varphi)=0\\\end{array} \right.</tex>$

T1) Demostrar si es verdadero o falso: $<tex>\lim_{z \to 0}(e^{1/z} + \frac{1}{z})= \infty</tex>$
T2) Analizar la transformación $<tex>f(z) = \frac{\overline{z}}{|z|^2}</tex>$ . ¿Es conforme?.
T3) A partir de $<tex>e^{x/2(t-1/t)} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(x)t^n</tex>$ probar que
$<tex>J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}\cos(x \sin \varphi -n\varphi)d\varphi</tex>$
T4) Obtener las fórmulas de la serie exponencial de Fourier y sus coeficientes a partir de las fórmulas de la serie trigonométrica de Fourier.
T5) Demostrar: $<tex>f(t) \sqsupseteq F(p)</tex>$ ⇒ $<tex>\int_{0}^{t}f(t)dt \sqsupseteq \frac{F(p)}{p}</tex>$