Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

2001 - 1er cuatrimestre - Evaluación integradora - 2a oportunidad

P1) Calcular el valor principal de $<tex>I = \oint_{\gamma}\frac{e^{1/z}}{z-i}dz</tex>$

P2) Resolver $<tex> \left\{ \begin{array}{ll}\nabla ^2u = 0\\u(1,\varphi) = 0\\u(2,\varphi) = \sin (\varphi /2)\\\end{array} \right. </tex>$

P3) Resolver: $<tex>5y+y'+6\int_{0}^{t}y(x)dx = \left\{ \begin{array}{lll}t & |t|<1\\0 & |t|>1\\\end{array} \right. y(0)=0</tex>$
T1) Analizar cuántos resultados distintos tiene la integral $<tex>\int_{-1}^{1} \frac{dz}{z} </tex>$ y calcularlos.
T2) Demostrar si es verdadero o falso:

$<tex>f(z)=\sum_{n=-2}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n</tex>$ $<tex>\wedge</tex>$ $<tex>\gamma_r : z = z_0+re^{i\varphi}</tex>$ ⇒ $<tex>\lim_{r\rightarrow\ 0} \int_{\gamma_R}f(z)dz=a_{-2}</tex>$
$<tex>\varphi \in [0,\alpha]; \alpha < 2\pi</tex>$

T3) Demostrar que la sucesión $<tex>\{\cos nx\}</tex>$ ; $<tex>x</tex>$ $<tex>\in</tex>$ $<tex>[-\pi, \pi]</tex>$ ; $<tex>p(x)=1</tex>$ es ortogonal pero no completa en el espacio de las funciones continuas $<tex>[-\pi, \pi]</tex>$ .
T4) Demostrar: $<tex>H) y'' + py'+ qy = 0</tex>$ $<tex> \left. \begin{array}{ccc} y_1 = x^{r_1} H_1(x) & H_1 \in H/V_0 \\ y_2 = x^{r_2} H_1(x) & H_2 \in H/V_0 \\\end{array} \right. </tex>$
- $<tex>T)</tex>$ p(x) tiene a lo sumo polo de $<tex>1^{er}</tex>$ orden en 0.
- q(x) tiene a lo sumo polo de $<tex>2^{do}</tex>$ orden en 0.
T5) Demostrar los teoremas del desplazamiento de la original y del desplazamiento de la transformada de Laplace.