Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

2001 - 1er cuatrimestre - Evaluación integradora - 1a oportunidad

P1) Calcular $<tex>\oint_{\gamma} \frac{dz}{(z - z_0)^p} </tex>$ $<tex>\gamma: \left. \begin{array}{cc} z = z_0 + re^{it} \\ t \in [0;2\pi] \\\end{array} \right. </tex>$ $<tex>p \in \mathbf R</tex>$

P2) Resolver $<tex>y_{xx} = y_{tt}</tex>$ $<tex> \left\{ \begin{array}{ll}y(0,t) = y(1,t) = 0\\y(x,0) = \sin \pi x\\y_t (x,0) = \sin 2\pi x\\\end{array} \right. </tex>$ $<tex>x \in [0,1]</tex>$
P3) Dada $<tex>F(w) = \frac{1}{(iw+5)^2}</tex>$ hallar su antitransformada de Fourier $<tex>f^*(t)</tex>$
T1) Demostrar $<tex> \lim_{z\rightarrow\infty} zf(z) = 0</tex>$ ⇒ $<tex> \left. \begin{array}{cc} \lim_{R\rightarrow\infty} \oint_{\Gamma_R}f(z)dz = 0\\ \Gamma_R: z = Re^{i\phi} ; \phi \in (0,2\pi] \\\end{array} \right. </tex>$
T2) Analizar si $<tex> z = 0 </tex>$ es punto de ramificación de $<tex>f(z) = \frac{\sin z}{\sqrt{z}}</tex>$
T3) A partir de $<tex> J_v (x)</tex>$ probar que $<tex>J_n (x) = (-1)^nJ_{-n}(x)</tex>$
T4) Demostrar que la antitransformada de Fourier de
$<tex>F(w)=\frac{1}{2\pi}[\frac{1}{iw}+\pi \delta (w)]</tex>$ es $<tex>f(t)=H(t)</tex>$
T5) Probar que $<tex> \lim_{t\rightarrow\infty} f(t) = \lim_{p\rightarrow 0} pF(p)</tex>$ usando la expresión $<tex>\mathbf L[f'(t)]</tex>$