Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis
- 2008 - Evaluación integradora - 1ra oportunidad (12/02/08)
  - Enunciado
  - Resolucion

Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

2008 - Evaluación integradora - 1ra oportunidad (12/02/08)

Enunciado

P1) Calcular $<tex>\oint_{|z|=3} z^2.e^{\frac{1}{z}} dz</tex>$
P2) Resolver $<tex> u_{xx} = u_t </tex>$ , $<tex> x \in [0,1] </tex>$ $<tex>\left\{ \begin{array}{cc} u(x,0) = x \\ u(0,t)=1 \\ u_x(1,t)=1 \\\end{array} \right.</tex>$

P3) Resolver $<tex>5y +y' + 6 \int _0^t y(x)dx = </tex>$ $<tex>\left\{ \begin{array}{cc} 1 \mbox{ para } |t|<1 \\ 0 \mbox{ para } |t|>1 \\\end{array} \right.</tex>$

T1) Analizar $<tex> \overline{f(z)} = f( \overline{z} ) </tex>$ ⇒ $<tex> f(x) \in \mathbf R</tex>$ $<tex>(z= x + iy)</tex>$
T2) Demostrar si es V o F: $<tex> f(z) \in H/ z_{\infty} </tex>$ ⇒ $<tex> R[f(z);z_{\infty}]=0</tex>$
T3) Probar que $<tex>\mathcal F(f * g) = \mathcal F(w).\mathcal G(w)</tex>$
T4) Demostrar $<tex> \mathcal L (J_1 (t)) = 1- \frac{p}{\sqrt{p^2+1}}</tex>$
T5) Calcular $<tex>\mathcal{L}[\ln t]=\frac{ \Gamma '(1)-\ln p}{p}</tex>$

Resolucion

P1) $<tex>\oint_{|z|=3} z^2.e^{\frac{1}{z}} dz = 2. \pi .i. R(0)</tex>$

Para encontrar $<tex>R(0)</tex>$ desarollar $<tex>z^2.e^{\frac{1}{z}}</tex>$ en forma de serie, partiendo de la serie conocida de $<tex>e^z</tex>$ luego de tener bien armada la serie calcular los primeros 4 terminos: SERIE = z^2 + z + 1/2 + 1/(6*z) + …. Lo que importa es que R(0) = 1/6 porque es el numero que acompaña al termino $<tex>a_{-1}</tex>$ osea a 1/z

P2) Proponer una v(x,t) que cumpla: $<tex>\left\{ \begin{array}{cc} u(x,t) = v(x,t) + f(x) \\ v_{xx} = v_t \\ v(0,t)=0 \\ v_x(1,t)=0 \\\end{array} \right.</tex>$

Trabajando con estas ecuaciones y las de u(x,t) se deduce que f(x)= x + 1 Ahora se sigue el ejercicio como todos los otros de la guia, pero en lugar de trabajar con u trabajando con v. Osea, se hace separacion de variables v(x,t) = X(x).T(t) y se sigue………..

P3) Hay que tomar la transformada de Laplace de ambos lados de la igualdad. Aplicando propiedades etc, etc.
T1) Yo llegue a que era VERDADERA. Dije esto:

$<tex>z= x + iy \\f(z)= u(x,y) + iv(x,y) </tex>$

$<tex>\overline {f(z)} = u(x,y) - iv(x,y) \\{f(\overline z)} = u(x,-y) + iv(x,-y) \\</tex>$ Las iguale y me quedaron estas 2 ecuaciones: $<tex>u(x,y) = u(x,-y) \\v(x,y) = -v(x,-y) \\</tex>$

Despues puse y=0 (porque el enunciado hablaba de $<tex>f(x) \in \mathbf R</tex>$ ) y las ecuaciones quedaron asi: $<tex>u(x,0) = u(x,0) \\v(x,0) = -v(x,0)</tex>$ ⇒ $<tex> v(x,0)=0</tex>$ ⇒ $<tex>f(x)= u(x,0) + i.0</tex>$ ⇒ $<tex>f(x)\in \mathbf R</tex>$

T2) Es FALSA, contraejemplo $<tex>f(z) =1/z</tex>$
T3) Resolucion en el apunte de Sacerdotti Transformada de Laplace, pagina 30. El ejercicio pide con Transformada de Fourier y en el apunte esta hecho con la de Laplace pero es practicamente igual (creo).
T4) Resolucion en el apunte de Sacerdotti Transformada de Laplace, pagina 56. En realidad en el Apunte esta hecho para cualquier $<tex> J_n (t)</tex>$ . En clase hicieron el ejercicio de la guia 9: Anexo\V\a que es muy parecido (en la carpeta de Brumosky esta).
T5) Resolucion en el apunte de Sacerdotti Transformada de Laplace, pagina 53.