Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Discusión

Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Rey
Fecha: 1° Recuperatorio - 1° Cuatrimestre 2008
Día: 06/06/2008

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Para el estreno de la película “Los 4 fantásticos XXIV” , la empresa que fabrica los famosos huevitos con “sorpresa” decide lanzar una colección de muñequitos con los 4 personajes. Suponga que cada vez que se compra un huevo, todos los personajes tienen igual probabilidad de aparecer y la aparición de los personajes en cada huevo se produce en forma independiente. Sea N la “cantidad de huevos que hay que comprar hasta completar la colección” (al menos uno de cada uno). Hallar la media y varianza de N.

Punto II

Se tienen 2 urnas . Cada una contiene 2 monedas falsas; en la urna 1 las monedas tienen probabilidad de cara p₁ y en la 2, p₂≠p₁.Puede optar por una de dos estrategias:

(a)Elegir una urna al azar y tirar ambas monedas.
(b)Elegir una moneda de cada urna y lanzarlas.

Si se gana el juego cuando ambas monedas salen cara, defina cúal de las dos estrategias es más conveniente.

Punto III

Se tiene una barra de N metros de largo (N es un numero fijo). Se eligen dos puntos de corte al azar y en forma independiente. Al cortar, resultan 3 pedazos. Halle la probabilidad de poder formar un triángulo con dichos pedazos.

Punto IV

X e Y son U(0,1) e independientes. Sean Q = Y - X y R = Y + X. Hallar la covarianza entre Q y R.
¿Qué puede decir sobre la independencia entre Q y R?

Punto V

Sean X|K VAs exponenciales de parámetro λ=K, donde K es una VA que toma los valores 1 ó 2 con igual probabilidad.

(a)Calcule P(K=1|X=2)
(b)Halle E(e^-5X)
(c)Sea L=K³. De todas las funciones g(L), encuentre una expresión explícita para la que minimiza E[(X-g(L))²]
(d)Halle la probabilidad de que el promedio de 50 valores de X i.i.d. sea mayor a 1

Resolución

Punto I

Podemos definir a N como:

$<tex>N=1+X+Y+Z</tex>$

Donde:

$<tex>\textstyle X\sim Geo(p=\frac34)</tex>$ :cantidad de extracciones desde la primera hasta obtener el 2° muñeco
$<tex>\textstyle Y\sim Geo(p=\frac12)</tex>$ :cantidad de extracciones desde la $<tex>(X+1)</tex>$ esima hasta obtener el 3° muñeco
$<tex>\textstyle Z\sim Geo(p=\frac14)</tex>$ :cantidad de extracciones desde la $<tex>(X+Y+1)</tex>$ esima hasta obtener el 4° muñeco

Entonces por propiedades de la esperanza:

$<tex>E[N]=1+E[X]+E[Y]+E[Z]</tex>$
Como X,Y,Z poseen distribución Geo: $<tex>\textstyle \mu_{geo}=\frac1p</tex>$ y $<tex>\textstyle \sigma^2=\frac{1-p}{p^2}</tex>$
Reemplazando:

$<tex>E[N]=1+\frac1{\frac34}+\frac1{\frac12}+\frac1{\frac14}=\frac{25}3=8.33</tex>$

Si asumimos que las tres variables son independientes, es decir no importa cuantos tiros hayamos hecho para sacar el próximo muñeco, entonces tendremos por propiedades de la varianza:

$<tex>\sigma_N^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2+\sigma_Z^2=\frac{1-\frac34}{\left( \frac34 \right)^2}+\frac{1-\frac12}{\left( \frac12 \right)^2}+\frac{1-\frac14}{\left( \frac14 \right)^2}=14.44</tex>$

Punto II

La estrategia más conveniente será aquella que tenga mayor probabilidad. Para ello definimos los siguentes eventos:

$<tex>G</tex>$ :Evento ganar
$<tex>U_i</tex>$ :Evento elegir urna i
$<tex>H_i</tex>$ :Evento sacar cara en la moneda iesima

Para la estrategia (a) tendremos por probabilidad total que la probabilidad de ganar será:

$<tex>P(G_a)=P(G \cap U_1)+P(G \cap U_2)</tex>$
$<tex>P(G_a)=P(G / U_1)\ P(U_1)+P(G / U_2)\ P(U_2)</tex>$
$<tex>P(G_a)=p_1^2\ \frac12+p_2^2 \ \frac12=\frac{p_1^2+p_2^2}2</tex>$
Analogamente para la estrategia (b) la probabilidad de ganar será

$<tex>P(G_b)=P(H_1\cap H_2)=p_1 \cdot p_2</tex>$
Operando con $<tex>\textstyle P(G_a)</tex>$

$<tex>P(G_a)=\frac{p_1^2+p_2^2}2=\frac{p_1^2+p_2^2-2\,p_1\,p_2+2\,p_1\,p_2}2=\frac{(p_1-p_2)^2}2+p_1\,p_2</tex>$

Es obvio que $<tex>\textstyle \frac{(p_1-p_2)^2}2</tex>$ es mayor a 0 por ende la estrategia (a) es la más conveniente