Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Baliña
Fecha: Primer Recuperatorio, Primer Cuatrimestre 2006
Día: 15/06/2006

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Enunciado

Punto I

Sea $<tex> X </tex>$ una variable aleatoria uniforme en $<tex>(-a;a)</tex>$ con $<tex> (a>0) </tex>$ . Si $<tex> y(x)=x^2 </tex>$ . Hallar $<tex> f(y)</tex>$ .

Tres operarios $<tex> A </tex>$ , $<tex> B </tex>$ y $<tex> C </tex>$ realizan c/u una tarea para completar un trabajo. Los operarios $<tex> A </tex>$ y $<tex> B </tex>$ comienzan simultaneamente sus tareas y cuando terminan comienza el operario $<tex> C </tex>$ . Los tiempos en días que tarda cada operario son variables uniformes independientes $<tex> U(2;3) </tex>$ ; $<tex> U(1;3) </tex>$ ; $<tex> U(1;2) </tex>$ para $<tex> A </tex>$ , $<tex> B </tex>$ y $<tex> C </tex>$ respectivamente. Encontrar la fdp del tiempo total que se insume en completar el trabajo

Punto III

Una carpitería recibe tablas de tres aserraderos $<tex> A </tex>$ , $<tex> B </tex>$ y $<tex> C </tex>$ . Las longitudes en metros de las tablas que entrega c/u tiene distribución normal con los siguientes paramentros respectivamente: $<tex> N(3.5;0.25) </tex>$ , $<tex> N(3.2;0.30) </tex>$ y $<tex> N(3;0.40) </tex>$ . Encontrar la probabilidad de que la longitud de $<tex> 30 </tex>$ tablas del proveedor $<tex> A </tex>$ supere la longitud de $<tex> 17 </tex>$ tablas del proveedor $<tex> B </tex>$ más $<tex> 13 </tex>$ del proveedor $<tex> C </tex>$ .

Punto IV

Se enfrentan en un partido de fútbol dos equipos con respectivas tasas de goles a favor por partido igual a uno. Que es mas probable, que el partido termine empatado o no empatado?

Resolución

Punto I

Es un cambio de variable un poco trivial, lo único que hay que tener en cuenta es que el analizando el nuevo dominio $<tex>(0; a^2)</tex>$ nos damos cuenta que obtenemos dos idénticos de probabilidad $<tex>(-a;0)</tex>$ y $<tex>(0;a)</tex>$ ya que en esos intervalos los valores de la derivada $<tex>\textstyle \frac{dy}{dx}</tex>$ cambia de valor ya que $<tex>2x</tex>$ en $<tex>(-a;0)</tex>$ es menor que cero y $<tex>2x</tex>$ en $<tex>(0;a)</tex>$ es mayor que cero.

Analizado por completo:

$<tex>f(x) = \frac1{2a}</tex>$ para $<tex>(-a;a)</tex>$
$<tex>\varphi (x) = Y = x^2</tex>$
$<tex>\frac{d\varphi}{dx} = 2x</tex>$

$<tex>f(y) = \frac{f(x)}{|\frac{d\varphi}{dx}|}</tex>$ evaluado en $<tex>\varphi^{-1}</tex>$

Para $<tex>(-a;0) = \frac{\frac1{2a}}{|-2x|} = \frac{\frac1{2a}}{2x} = \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}}</tex>$ ; y $<tex>(-a; 0)</tex>$ va a parar a $<tex>(0;a^2)</tex>$ .

Para $<tex>(0;a) = \frac{\frac1{2a}}{|2x|} = \frac{frac1{2a}}{2x} = \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}}</tex>$ ; y $<tex>(0;a)</tex>$ va a parar a $<tex>(0;a^2)</tex>$ .

Entonces:

$<tex>f(y) = \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}} + \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}}</tex>$ , para $<tex>(0;a^2)</tex>$

Simplificando:

$<tex>f(y) = \left\{ \begin{array}{ll}\frac1{2a \sqrt{y}} & \mbox{para }(0;a^2) \\0 & \mbox{para otro }y\end{array}\right.</tex>$

Listo el pollo.

Punto II

Este es el mas largo y quiza mas complicado de desarrollar y no equivocarse con las cuentas eh!!

Primero vemos que nos dice que el chabón $<tex>C</tex>$ no empieza hasta que no terminan $<tex>A</tex>$ y $<tex>B</tex>$ . Entonces vemos que el hecho de que quien termine mas tarde entre $<tex>A</tex>$ y $<tex>B</tex>$ nos va a dar el mayor primer tiempo, y ahí caemos que hay que sacar el máximo de los dos tiempos. Luego tenemos que a eso sumarle lo que tardara $<tex>C</tex>$ y esto es un simple cambio bidimensional $<tex>Z = X +Y</tex>$ .

Habiendo simplificado vamos a la papota:

$<tex>f(a) = U(2;3)</tex>$
$<tex>f(b) = U(1;3)</tex>$
$<tex>f(c) = U(1;2)</tex>$

Para conocer el maximo necesito conocer las $<tex>F</tex>$ de $<tex>A</tex>$ y $<tex>B</tex>$ :

$<tex>F(a) = x-2</tex>$
$<tex>F(b) = \frac12 (x-1)</tex>$

Como son variables independientes pero tienen distinta $<tex>f</tex>$ , el maximo es la $<tex>\left( \prod F \right)^N</tex>$ (N=2 en este caso porque son dos variables), partidas en todos los minidominios que tenga (lo vemos mas adelante). Si tuviesen la misma $<tex>f</tex>$ entonces hago sumatoria y elevo a la N.

Examino los dominios y veo que:

$<tex>F_{max} = F_a F_b =\left\{\begin{array}{ll}(x-2) \left( \frac12 (x-1) \right) & \mbox{para } 2<x<3, \\0 \left( \frac12 (x-1) \right) & \mbox{para } 1<x<2.\end{array}\right.</tex>$

La primer multiplicación es para el primer minidomio, donde ambas $<tex>f</tex>$ aportan probabilidad. La segunda solo aporta el muchacho $<tex>B</tex>$ .

$<tex>f_{max} = \frac{dF_{max}}{dx} = \left\{\begin{array}{ll}x-\frac32 & \mbox{para } 2<x<3, \\0 & \mbox{para el resto}.\end{array}\right.</tex>$

Ahora hay que sumar esto a la uniforme de $<tex>C</tex>$ y listo. Como sabemos que son independientes las multiplicamos y obtenemos $<tex>f(xy) = x- \frac32</tex>$ para $<tex>2<x<3</tex>$ y $<tex>1<y<2</tex>$ .

Para obtener $<tex>X+y</tex>$ hago el cambio de variable: $<tex>u = x + y; v = x \iff x = v; y = u - v</tex>$

Obtengo el jacobiano de la transformación $<tex>= \left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right| = 1</tex>$ .

$<tex>f(u,v)= v- \frac32 = \frac{f(xy)}{\left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right|}</tex>$

Ahora, necesito en realidad $<tex>f(u)</tex>$ que es $<tex>f(x+y)</tex>$ . Integro $<tex>f(uv) = v- \frac32</tex>$ en $<tex>(-\infty, \infty)</tex>$ y listo, viendo el dominio, que hubo que hacerle la transformación y quedo asi, encerrado entre:

$<tex>D(u,v) =\left\{\begin{array}{l}v = 2; \\v = 3; \\u = v+1; \\u = v+2.\end{array}\right.</tex>$

Queda algo asi:

Luego de integrar $<tex>f(u)</tex>$ queda partida para $<tex>3<u<4</tex>$ y $<tex>4<u<5</tex>$

Las integraciones:

$<tex>\int_2^{u-1} f(uv) \,dv \Longrightarrow</tex>$ termina yendo a $<tex>3<u<4</tex>$ .
$<tex>\int_{u-2}^3 f(uv) \,dv \Longrightarrow</tex>$ termina yendo a $<tex>4<u<5</tex>$ .

Punto III

Este problema es más vuelta que otra cosa, hay que usar el tema de que combinación lineal de Normales es normal y suma de normales es normal.

A saber:

$<tex>P(30\mbox{ Normales A} > 17 \mbox{ Normales B} + 13 \mbox{ NormalesC})</tex>$ = $<tex>P(\sum^{30} \mbox{Norm A} > \sum^{17} \mbox{NormB} + \sum^{13} \mbox{NormC})</tex>$
$<tex>\sum^{30} \mbox{Norm A} = J = N(30 \mu (A); \sqrt{30 \sigma(A)})</tex>$
$<tex>\sum^{17} \mbox{Norm B} = K = N(17 \mu (B); \sqrt{17 \sigma(B)})</tex>$
$<tex>\sum^{13} \mbox{Norm C} = L = N(13 \mu (C); \sqrt{13 \sigma(C)})</tex>$

$<tex>\Longrightarrow</tex>$ queda $<tex>P(J>K+L)</tex>$

Defino $<tex>I = K+L = N(\mu (K) + \mu (L); \sqrt{\sigma (K) + \sigma (L)})</tex>$ ; $<tex>\Longrightarrow</tex>$ queda $<tex>P(J>I) \Longrightarrow P(J-I>0)</tex>$

Defino $<tex>T = N(\mu (P) - \mu (I) ; \sqrt{\sigma (P) + \sigma (I)})</tex>$ ; $<tex>\Longrightarrow</tex>$ queda $<tex>P(T>0)</tex>$

Haciendo todas las cuentas queda $<tex>T = N(11.6; 2.34)</tex>$ y el resultado del problema es 1, que sale de hacer el cambio $<tex>\textstyle Z=(T- \frac{11.6}{2.34})</tex>$ y evaluar $<tex>Z(0)</tex>$ y esto lo sacamos de la tabla de Normal.

Sí, la probabilidad da 1. (Aunque ud no lo crea)

Discusión

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