Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Baliña
Fecha: Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2006
Día: 18/05/2006
Tema: 1

Enunciado

La cantidad de crías que tiene una determinada especie de ave tiene dist $<tex>Bi (n=4 </tex>$ ; $<tex> p=0,5)</tex>$ . Encontrar 1a función de probabilidad de la cantidad de nidos que habrá que inspeccionar hasta encontrar l0 nidos con al menos 2 crías.
Sea $<tex>X</tex>$ una variable discreta Uniforme para $<tex>x = 1, 2 , 3</tex>$ . Sea $<tex>Y</tex>$ una variable discreta Uniforme para $<tex>y = 1 , 2 , 3 </tex>$ . Sean $<tex>X</tex>$ e $<tex>Y</tex>$ independientes. Encontrar $<tex>P(W)</tex>$ y $<tex>E(W)</tex>$ si $<tex>W = Maximo (X; Y)</tex>$ .
Sea $<tex>f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} kx & 0<x<1 , \\ k & 1<x<2 , \\ 0 & \forall \mbox{ otro } x . \\\end{array} \right. \qquad Y(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 3 - x & x<1 ,\\x - 1 & x>1 ,\\ 0 & \forall \mbox{ otro } x . \\\end{array} \right.</tex>$ Encontrar: $<tex>f(Y)</tex>$ y su media.
Sea $<tex>X</tex>$ la cantidad de operaciones que se realizan por día en un quirófano con $<tex>P(X=1) = 0,10 \ P(X=2)=0,20 \ P(X=3) = 0,30 \ P(X=4) = 0,40</tex>$ . La duración de cada operación es una exponencial de media una hora. Encontrar la función de probabilidad del tiempo diario de ocupación del quirófano.

Resolución

Punto I

Lo que plantea el problema es la aplicación de un distribución Poisson donde la probabilidad de dicha distribución se obtiene mediante un distribución Binomial.

Se plantea $<tex>X</tex>$ como la distribución binomial, $<tex>X:Bi(4,0.5)</tex>$ que permitirá conocer la probabilidad de encontrar al menos dos crías en un nido:

$<tex>P(x \geq 2) = 1 - (P(X=0)+P(X=1)) = 1 - (0.5)^4 - 4(0.5)^4 = 0.6875 </tex>$

Entonces ahora $<tex>p = 0.6875</tex>$ es la probabilidad de que exista un éxito de la distribución Pascal ( $<tex>Y:Pa(10,p)</tex>$ ).
Es decir, dada la probabilidad de encontrar al menos 2 crías en un nido, uso una Pascal para determinar cuantos nidos deberé revisar hasta obtener 10 que tengan al menos dos crías. $<tex>Y</tex>$ es la función de probabilidad buscada. Esta se puede escribir de la siguiente forma:

$<tex>P(y) = {y - 1 \choose 9} (0.6875)^{10}(0.3125)^{y - 10} \qquad \mbox{para } y \geq 10</tex>$

Punto II

$<tex> P(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{3} & x = 1\\$ $ $ $ \\\frac{1}{3} & x = 2\\$ $ $ $ \\\frac{1}{3} & x = 3\\\end{array} \right. \qquad P(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{3} & y = 1\\$ $ $ $ \\\frac{1}{3} & y = 2\\$ $ $ $ \\\frac{1}{3} & y = 3\\ \end{array} \right. </tex>$

$<tex> F(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x < 1\\$ $ $ $ \\\frac{1}{3} & 1 \leq x < 2\\$ $ $ $ \\\frac{2}{3} & 2 \leq x < 3\\$ $ $ $ \\1 & x \geq 3\\\end{array} \right. \qquad F(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & y < 1\\$ $ $ $ \\\frac{1}{3} & 1 \leq y < 2\\$ $ $ $ \\\frac{2}{3} & 2 \leq y < 3\\$ $ $ $ \\1 & y \geq 3\\\end{array} \right. </tex>$

$<tex>F_{max} = P(x \leq w \cap y \leq w) \underbrace{=}_{(1)} P(x \leq w)P(x \leq w) =F_x(w)F_y(w)</tex>$

$<tex>(1)</tex>$ Esta igualdad se da porque son sucesos independientes.

$<tex> F(w) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & w < 1\\$ $ $ $ \\\frac{1}{9} & 1 \leq w < 2\\$ $ $ $ \\\frac{4}{9} & 2 \leq w < 3\\$ $ $ $ \\1 & w \geq 3\\\end{array} \right. \qquad P(w) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & w = 1\\$ $ $ $ \\\frac{3}{9} & w = 2\\$ $ $ $ \\\frac{5}{9} & w = 3\\\end{array} \right. </tex>$

$<tex> E(w)= 1\times \frac{1}{9} + 2\times \frac{3}{9} + 3\times \frac{5}{9} = \frac{22}{9}</tex>$

Punto III

Se obtiene $<tex>k</tex>$ sabiendo que $<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1</tex>$

$<tex>\Rightarrow \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} kx \, dx + \int_{1}^{2} k \, dx = \frac{k}{2} + k =1 </tex>$ $<tex>\Rightarrow k = \frac{2}{3}</tex>$

$<tex> \Rightarrow f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2x}{3} & 0<x<1 , \\ & \\\frac{2}{3} & 1<x<2 , \\ & \\ 0 & \forall \mbox{ otro } x . \\\end{array} \right.</tex>$

Se sabe que dadas $<tex>f_X(x)</tex>$ e $<tex>y(x)</tex>$ , podemos obtener $<tex>f_Y(y)</tex>$ mediante:

$<tex>f_Y(y) = \frac{f_X(x)}{\left|\frac{dy}{dx}\right|}</tex>$

Entonces para $<tex>0<y<1</tex>$

$<tex>f(y) = \frac{\frac{2}{3}}{|1|}</tex>$

Para $<tex>2<y<3</tex>$

$<tex>f(y) = \frac{\frac{2}{3}(3 - y)}{|-1|}</tex>$

Entonces:

$<tex> \Rightarrow f(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}{3} & 0<y<1 , \\ & \\\frac{2}{3}(3 - y) & 2<y<3 , \\ & \\ 0 & \forall \mbox{ otro } y . \\\end{array} \right.</tex>$

$<tex>E(y)=\frac{2}{3}\int_0^1 y dy + \frac{2}{3} \int_2^3 y(3-y) dy=1.11</tex>$

Punto IV

$<tex>f_d(t) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-t} & t > 0 , \\$ $ $ $ \\0 & t < 0 . \\end{array} \right.</tex>$

$<tex>f_d(t)</tex>$ es la función de densidad de probabilidad de la duración de cada operación.

Se define $<tex>D</tex>$ como el tiempo diario de duración.

$<tex>P(D<t) = P(D < t \, \cap \, E)</tex>$

$<tex> = P(D < t \, \cap \, 1)+P(D < t \, \cap \, 2)+P(D < t \, \cap \, 3)+P(D < t \, \cap \, 4) </tex>$

Donde $<tex>P(D)</tex>$ es la función de probabilidad acumulada, $<tex>E</tex>$ es el espacio muestral y $<tex>1,2,3,4</tex>$ representan a los días 1,2,3 y 4 respectivamente.

Luego:

$<tex>P(D<t) = P\left(\frac{D<t }{1}\right)P(1) + P\left(\frac{D<t}{2}\right)P(2) + P\left(\frac{D<t}{3}\right)P(3) + P\left(\frac{D<t}{4}\right)P(4)</tex>$

Sabiendo que al derivar la $<tex>P(D)</tex>$ obtenemos la función de distribución pretendida ( $<tex>f_D(t)</tex>$ ) se procede de la siguiente manera:

$<tex>f_D(t) = f_1(t)P(1) + f_2(t)P(2) + f_3(t)P(3) + f_4(t)P(4)</tex>$

Donde $<tex>f_i(t)</tex>$ es un Gamma de variables $<tex> k = i </tex>$ y $<tex>\lambda = 1</tex>$

$<tex>\Rightarrow f_D(t) = \frac{e^{-t}}{10} + 2t\frac {e^{-t}}{10} + \frac{3}{2}t^2\frac{e^{-t}}{10} + \frac{2}{3}t^3\frac{e^{-t}}{10}</tex>$

$<tex> \Rightarrow f_D(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{-t}}{10}\left(\frac{2}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 2t + 1\right) & t > 0 , \\ & \\0 & t < 0 . \\end{array} \right.</tex>$

Discusión

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