Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Baliña
Fecha: Primer Oportunidad, Primer Cuatrirmestre 2006
Día: 18/05/2006

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Enunciado

Punto I

Sea $<tex> f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} k & \mbox{si } 0<x<1 \\ kx^2 & \mbox{si } 1<x<2 \\ 0 & \forall \mbox{ otro } x \end{array} \right.</tex>$

Sea $<tex> y(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 4-x & \mbox{si } x<1 \\ x-2 & \mbox{si } x>1 \end{array} \right.</tex>$

Encontrar $<tex> f(y)</tex>$ y su media.

Punto II

Sea $<tex> f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x & \mbox{si } 0<x<1 \\2-x & \mbox{si } 1<x<2 \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right.</tex>$

Sea $<tex>f(y)</tex>$ uniforme en $<tex>(0;2)</tex>$ . Encontrar $<tex>F(W)</tex>$ si $<tex>W = \max(X,Y)</tex>$ con $<tex>X</tex>$ e $<tex>Y</tex>$ independientes.

Sea $<tex>X</tex>$ la cantidad de vueltas que realiza por día un helicóptero con $<tex>P(X=0)=0.1</tex>$ , $<tex>P(X=1)=0.2</tex>$ , $<tex>P(X=2)=0.3</tex>$ , $<tex>P(X=3)=0.4</tex>$ . La duración de cada vuelo es exponencial de media 30 minutos. Encontrar la probabilidad de que el tiempo total de vuelo en un día supere las 2 horas.

Punto IV

La cantidad de frutos que tiene una planta tiene distribución $<tex>Bi(n=40;p=0,5)</tex>$ . Encontrar la función de probabilidad de la cantidad de plantas que habrá que inspeccionar hasta encontrar 5 con al menos 20 frutos.

Resolución

Punto I

$<tex>f(Y=y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } y<-1 \\ k(y+2)^2 & \mbox{si } -1<y<0 \\ 0 & \mbox{si } 0<y<3 \\ k & \mbox{si } 3<y<4 \\ 0 & \mbox{si } y>4 \end{array} \right.</tex>$ con $<tex>k=\frac{3}{10}</tex>$ .

Punto II

Sea $<tex>Y = \max(X_1,X_2,\dots,X_n)</tex>$ sinedo las $<tex>X_i</tex>$ variables independientes, cada una con su propia distribución. Se define

$<tex> F_Y (y) = \prod_{i=1}^n F_{X_i} (y)</tex>$

Donde $<tex>F_y (y)</tex>$ es la distribución de probabilidad acumulada a izquierda de la variable $<tex>Y</tex>$ .

En el caso de este problema se tiene $<tex>W = \max(X,Y)</tex>$ . Entonces

$<tex> F_W (x) = F_X(x) \cdot F_Y(x)</tex>$

$<tex> f_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x & \mbox{si } 0<x<1 \\2-x & \mbox{si } 1<x<2 \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. \qquad f_Y(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \mbox{si } 0<x<2 \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. </tex>$

$<tex> F_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2}{2} & \mbox{si } 0<x<1 \\\frac{2-(2-x)^2}{2} & \mbox{si } 1<x<2 \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. \qquad F_Y(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2}{4} & \mbox{si } 0<x<2 \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right.</tex>$

$<tex> F_W(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^4}{8} & \mbox{si } 0<x<1 \\\frac{-x^4+4x^3-2x^2}{8} & \mbox{si } 1<x<2 \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right.</tex>$

Punto III

$<tex>f_d(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{-\frac{t}{30}}}{30} & t \geq 0 , \\0 & t < 0 . \end{array} \right.</tex>$

$<tex>f_d(t)</tex>$ es la función de densidad de probabilidad de la duración de cada vuelo.

Se define $<tex>D</tex>$ como el tiempo diario de duración.

$<tex>P(D<t) = P(D < t \, \cap \, E) = </tex>$

$<tex> \qquad = P(D < t \, \cap \, 0)+P(D < t \, \cap \, 1)+P(D < t \, \cap \, 2)+P(D < t \, \cap \, 3) </tex>$

Donde $<tex>P(D)</tex>$ es la función de probabilidad acumulada, $<tex>E</tex>$ es el espacio muestral y $<tex>0,1,2,3</tex>$ representan a las vueltas 0,1,2 y 3 respectivamente.

Luego:

$<tex>P(D<t) = P\left(\frac{D<t }{0}\right)P(0) + P\left(\frac{D<t}{1}\right)P(1) + P\left(\frac{D<t}{2}\right)P(2) + P\left(\frac{D<t}{3}\right)P(3)</tex>$

Sabiendo que al derivar la $<tex>P(D)</tex>$ obtenemos la función de distribución pretendida ( $<tex>f_D(t)</tex>$ ) se procede de la siguiente manera:

$<tex>f_D(t) = f_0(t)P(0) + f_1(t)P(1) + f_2(t)P(2) + f_3(t)P(3)</tex>$

Donde $<tex>f_i(t)</tex>$ es un Gamma de variables $<tex> k = i+1 </tex>$ y $<tex>\lambda = \frac{1}{30}</tex>$

$<tex>\Rightarrow f_D(t) = \frac{e^{-\frac{t}{30}}}{300}\left(1 + \frac{t}{15} + \frac{t^2}{600} + \frac{t^3}{40500} \right)</tex>$

$<tex> \Rightarrow f_D(t) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{-\frac{t}{30}}}{300}\left(1 + \frac{t}{15} + \frac{t^2}{600} + \frac{t^3}{40500} \right) & t \geq 0 , \\ & \\0 & t < 0 . \\end{array} \right.</tex>$

Punto IV

En primer lugar hay que determinar el tipo de variable que vamos a usar: en este caso, una Pascal.

PAS = Cantidad de plantas a inspeccionar hasta encontrar 5 con al menos 20 frutos.

$<tex> f(PAS = n) = {n-1 \choose 4} \cdot (1 - p)^{n-5} \cdot p^{5} </tex>$

p es la probabilidad de encontrar al menos 20 frutos en un árbol ⇒ calculo p.

$<tex> P(\mbox{cant frutos} \geq 20) = 1 - P(\mbox{cant frutos} \leq 20) = 1 - \sum_{i = 0}^{19} P(\mbox{cant frutos} = i) </tex>$

Donde $<tex>P(\mbox{cant frutos} = i) = {40 \choose i} \cdot 0.5^i \cdot 0.5^{40 - i} </tex>$

Ejemplo: $<tex>P(\mbox{cant frutos} = 5) {40 \choose 5} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^{35} = 5.98x10^{-7}</tex>$

Discusión

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