Examen Final - 61.09. Probabilidad y Estadística B - 28/02/2008
- Enunciado
  - Punto 1
  - Punto 2
  - Punto 3
  - Punto 4
  - Punto 5
- Resolución
  - Punto 1
  - Punto 2
  - Punto 3
  - Punto 4
  - Punto 5
- Discusión

2008

Cátedra: Única
Fecha: 4º Oportunidad - (2º Cuatrimestre 2007)
Día: 28/02/2008
Tema: 2

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En una ruta de 100 km se midieron las fallas en 5 intervalos disjuntos de 1 km obteniéndose los siguientes resultados: 22, 23 , 24, 26, 30. Plantear un modelo para la cantidad de fallas por kilómetro de ruta y dar aproximadamente un intervalo de 0.9 de confianza para la cantidad de fallas en toda la ruta.

Punto 2

$<tex> f(x/a) = 2(x-a)</tex>$ $<tex>a<x<a+1</tex>$

Cero para otro x.

Dadas las muestras 3.1 y 2.3, hallar la expresión analítica de la función de verosimilitud y graficarla. Hallar el estimador máximo verosímil del parámetro a.

Punto 3

Se desea verificar si la proporción de piezas defectuosas producidas por una máquina esta dentro de límites aceptables (hasta 2%). Explicar detalladamente como deben hacerse los ensayos.

Punto 4

Sean $<tex>X_1</tex>$ y $<tex>X_2</tex>$ variables aleatorias independientes con funciones de densidad uniformes en el intervalo [a;a+1] y [b;b+1] respectivamente. Hallar la función de densidad de $<tex>X_1 + X_2</tex>$ .

Punto 5

Se quieren colocar 4 ventanas en una casa. La probabilidad de que un vidrio se rompa mientras es transportado es 0.01. La probabilidad de que un vidrio se rompa mientras es colocado es 0.02. Hallar la cantidad mínima de vidrios que deben fabricarse para tener 0.9 de probabilidad de colocar los 4 vidrios en la casa. AYUDA: El número de vidrios necesario es chico.

Resolución

Punto 1

Primero propongo un modelo para “cantidad de fallas en un tramo de 1 km de ruta”. La distribución mas común para este tipo de problemas es una Poisson. Como los tramos son de 1km de longitud, $<tex>t=1km</tex>$ , entonces el modelo es X=“cantidad de fallas en un tramo de 1 km de ruta” ~ Poisson( $<tex> \mu = \lambda *1km</tex>$ ).

Usando un estimador de máxima verosimilitud para un parámetro, se le puede aplicar una función y así obtener el estimador de MV para otro parámetro. Usando $<tex>\overline{X}</tex>$ para estimar $<tex>\mu</tex>$ se puede obtener una estimación de $<tex>\lambda</tex>$ , ya que $<tex>\lambda = \frac{\mu}{1km}</tex>$

Los valores de la muestra son 22, 23, 24, 26, 30, entonces $<tex> \overline{X} = \frac{\mbox{22+23+24+26+30}}{5} = 25 fallas</tex>$ ⇒ $<tex>\hat p = 25 \frac{fallas}{km}</tex>$

Ahora hay que buscar un intervalo de confianza del 90% de NC.

Si llamamos Y a la cantidad de fallas en toda la ruta, $<tex>y = \sum _{i=1}^{100} X_i</tex>$ . Por T.C.L., $<tex>y \sim Normal(\mu = 100* \mu_x ; \sigma = 10*\sigma_x)</tex>$ .

$<tex>\mu_x = 25 fallas</tex>$ , según la estimación, y como $<tex> \sigma ^{2} = \mu </tex>$ para una Poisson, $<tex>\sigma_x = \sqrt{25} = 5</tex>$ ⇒ $<tex>y \sim Normal(\mu = 2500 ; \sigma = 50)</tex>$

Llamo $<tex>Z = \frac{Y - 2500}{50} \sim Normal(0,1)</tex>$

Ahora planteo el intervalo de confianza del 90% para la Z estándar, un intervalo simétrico porque f(z) es simétrica:

$<tex>0.9 = P(Z_{0.05} \leq Z \leq Z_{0.95}) = P(-Z_{0.95} \leq Z \leq Z_{0.95})</tex>$

Reemplazo Z y despejo:

$<tex>P(-Z_{0.95} \leq \frac{Y - 2500}{50 }\leq Z_{0.95}) = P(-Z_{0.95}*50+2500 \leq Y \leq Z_{0.95}*50+2500) = P(LI \leq Y \leq LS)</tex>$

Entonces:

$<tex>LI = -Z_{0.95}*50+2500 = -1.64485*50+2500 = 2417.76</tex>$
$<tex>LS = Z_{0.95}*50+2500 = 1.64485*50+2500 = 2582.24</tex>$

Punto 2

Primero hay que plantear la función de máxima verosimilitud, $<tex>L( \theta ) = f(muestra\mid_{\theta})</tex>$ .

$<tex>f(muestra\mid_{\theta}) = f(X_1)f(X_2) = 2(3.1 - a)*2(2.3 - a)</tex>$

Desarrollando: $<tex>L(a) = 4a^{2} - 21.6a + 28.52</tex>$

Dado que $<tex>f(x)</tex>$ está definida para $<tex>a \leq x \leq a + 1</tex>$ , despejo el intervalo de posibles valores de $<tex>a</tex>$ .

De $<tex>a \leq x</tex>$ , $<tex>a</tex>$ tiene que ser menor que todos los $<tex>x</tex>$ de la muestra, entonces $<tex>a \leq 2.3</tex>$ .
De $<tex>x \leq a + 1</tex>$ , $<tex>a</tex>$ tiene que ser mayor que todos los $<tex>x</tex>$ de la muestra, restándoles uno, entonces $<tex>2.1 \leq a</tex>$ .

La función $<tex>f(a) = 4a^{2} - 21.6a + 28.52</tex>$ es una parábola, graficándola queda:

$<tex>L(a) = 4a^{2} - 21.6a + 28.52</tex>$ es el mismo gráfico, pero restringiendo para $<tex>2.1 \leq a \leq 2.3</tex>$ , entonces el gráfico de $<tex>L(a)</tex>$ es:

Por último, el estimador de M.V. de $<tex>a</tex>$ es el $<tex>a</tex>$ que maximiza $<tex>L(a)</tex>$ , entonces $<tex>\hat a = 2.1</tex>$

En este caso no se pueden seguir los pasos de derivar e igualar a 0, porque se llega como respuesta a $<tex>\hat a = 2.7</tex>$ , que, como se ve en el gráfico, es el $<tex>a</tex>$ que minimiza $<tex>L(a)</tex>$ . Además, da un valor para $<tex>a</tex>$ que no cae dentro de la región válida de $<tex>L(a)</tex>$ .

Punto 3

Este ejercicio es puramente teórico, no tiene sentido que lo escriba todo porque está explicado en libros y páginas de internet de formas claras.

Punto 4

Como $<tex>X_1</tex>$ y $<tex>X_2</tex>$ son dos variables uniformes definidas en intervalos de longitud 1, sus funciones de densidad de probabilidad son $<tex>f_x(X)=1</tex>$ para ambas, y como son independientes $<tex>f_{x_1,x_2}(X_1,X_2)=1</tex>$ .

Defino:

$<tex>Z = X_1 + X_2</tex>$ (la variable que pide el enunciado)

$<tex>W = X_1</tex>$ (podría ser otra)

Transformo la región de $<tex>f_{x_1,x_2}(X_1,X_2)</tex>$ usando $<tex>Z</tex>$ y $<tex>W</tex>$ y tengo este gráfico:

Ahora hay que buscar $<tex>f_{z,w}(Z,W) = \frac{f_{x_1,x_2}(X_1,X_2)}{\left| J_{z,w} \right|} \mid_{X_1=W,X_2=Z-W}</tex>$

$<tex>\left| J_{z,w} \right| = \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| = \left| -1 \right| = 1</tex>$ . Entonces $<tex>f_{z,w}(Z,W) = 1</tex>$ .

Ahora calculo $<tex>f_z(Z)</tex>$ . Viendo el gráfico hay que dividir la función en dos intervalos, porque cambian los límites entre los que se mueve $<tex>W</tex>$ :

Para $<tex>a+b \leq Z \leq a+b+1 </tex>$

$<tex>f_z(Z) = \int _{a}^{Z-b} f_{z,w}(Z,W) \,dw = Z-b-a</tex>$

Para $<tex>a+b+1 \leq Z \leq a+b+2 </tex>$

$<tex>f_z(Z) = \int _{Z-b-1}^{a+1} f_{z,w}(Z,W) \,dw = a+b+2-Z</tex>$

Punto 5

Defino los eventos R='Se rompe un vidrio', T='Se rompe un vidrio al trasladarlo' y C='Se rompe un vidrio al colocarlo'.

Primero calculo $<tex>P(A)=P(T)+P(\overline{T})P(C)=0.01+0.99*0.02=0.0298</tex>$

Ahora llamo $<tex>X</tex>$ a la cantidad de vidrios rotos de la cantidad total que se fabriquen ( $<tex>n</tex>$ vidrios), entonces $<tex>X \sim Binomial(n;p=0.0298)</tex>$ .

Tengo que buscar un $<tex>n</tex>$ tal que $<tex>P(X \leq n-4) \geq 0.9</tex>$ , es decir, la probabilidad de que 4 o mas no se rompan tiene que ser igual (o mayor) a $<tex>0.9</tex>$ . Como el enunciado dice que la cantidad de vidrios es chica, conviene probar distintos valores de $<tex>n</tex>$ , ya que si se quiere calcular, hay que resolver $<tex>P(X \leq n-4) = \sum _{0}^{n-4} \frac{n!}{(n-4)!4!}p^{n-4}(1-p)^{4}=0.9 </tex>$ y es muy complicado hallar ese $<tex>n</tex>$ .