Resumen Teórico

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\begin{document}

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%opening
\title{\huge [61.08] Álgebra II A\\[12pt] \LARGE Resumen Teórico}
\author{Germán Gual \&\ Iñaki García Mendive}
\date{Marzo de 2008}
\maketitle

\thispagestyle{empty}

\newpage

\thispagestyle{empty}

\tableofcontents

\newpage

\setcounter{page}{1}

\section{Espacios Vectoriales}

\begin{equation}
C_{AB}=\left( \begin{array}{ccc} C_B\left( a_1 \right) & \cdots & C_B\left( a_n \right) \\ \downarrow & & \downarrow \end{array} \right)
\end{equation}
{\raggedleft Siendo $A$ y $B$ bases.\par}

\begin{equation}
	Av=v_1A_1+\ldots+v_n A_n
\end{equation}

{\raggedleft es una combinación lineal de las columnas ($A_1 \ldots A_n$) de $A$.\par}

\begin{equation}
	BA = \left( \begin{array}{ccc} B A_1 & \cdots & B A_n\\ \downarrow & &\downarrow \end{array} \right)
\end{equation}

{\raggedleft o sea que $\col{BA} \subseteq \col{B}$.\par}

\section{Producto Interno}

\subsection{Axiomas}

\begin{itemize}
	\item $\pint{u}{v}=\overline{\pint{v}{u}}$
	\item $\pint{u}{v+w}=\pint{u}{v} + \pint{u}{w}$
	\item $\pint{\alpha u}{\beta v}=\overline{\alpha} \beta \pint{u}{v}$
	\item $\pint{u}{u} \geq 0 \quad \land \quad \pint{u}{u} = 0 \Longleftrightarrow u=0$
\end{itemize}

\subsection{(Des)igualdades}

\begin{itemize}
	\item $\pint{v}{v}={\left\| v \right\|}^2$
	\item $\cos \alpha =  \frac{\pint{u}{v}}{\norma{u}\norma{v}}$
	\item $C_B (x)=\left[ \begin{array}{c} \frac{\pint{v_1}{x}}{\pint{v_1}{v_1}} \\ \vdots \\ \frac{\pint{v_n}{x}}{\pint{v_n}{v_n}} \end{array} \right] \quad \mbox{siendo } B=\left\{ v_1 \ldots v_n \right\} \mbox{ base}$
\end{itemize}

\newlength{\DP}
\settowidth{\DP}{\bfseries del Paralelogramo}
%\setlength{\labelsep}{200pt}

\begin{basedescript}{\desclabelstyle{\nextlinelabel} \desclabelwidth{\DP}}
	\item[Cauchy--Bunyakovski\u\i--Schwarz] $\norma{\pint{u}{v}} \leq \norma{u}\norma{v}$
	\item[Triangular] $\norma{u+v}\leq \norma{u} + \norma{v}$
	\item[Pitágoras] ${\norma{u+v}}^2 = {\norma{u}}^2 + {\norma{v}}^2 \qquad \mbox{si } \left( \pint{u}{v}=0 \right)$
	\item[del Paralelogramo] ${\norma{u+v}}^2 + {\norma{u-v}}^2 = 2 \left( {\norma{u}}^2 + {\norma{v}}^2 \right)$
\end{basedescript}

\subsection{Matriz del Producto Interno}

Un P.I. puede definirse en una base $B=\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}$ de la siguiente manera:

\begin{eqnarray}
	\pint{x}{y} & = & \left[ \begin{array}{ccc} \overline{x}_1 & \cdots & \overline{x}_n \end{array} \right]
	\left[ \begin{array}{ccc} \pint{v_1}{v_1} & \cdots & \pint{v_1}{v_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \pint{v_n}{v_1} & \cdots & \pint{v_n}{v_n} \end{array} \right]
	\left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right] \\
	 & = & \herm{x} G_B\, y
\end{eqnarray}

$\left.
\mbox{
\begin{tabular}{rl}
	$G_B$ es hermítica: & $G_B = \herm{G_B}$\\
	y definida positiva: & $\herm{x} G_B x > 0 \quad \forall x \neq 0$ 
\end{tabular}} \right\} \Longleftrightarrow \mbox{Es matriz de un P.I.}$


\section{Proyección Ortogonal}

\begin{equation}
	P_\mathcal{S} x = \frac{\pint{v_1}{x}}{\pint{v_1}{v_1}} \cdot v_1 + \ldots + \frac{\pint{v_1}{v_1}}{\pint{v_1}{v_1}} \cdot v_n
\end{equation}

{\raggedleft con $B=\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}$ una BOG\footnote{Base Ortogonal}\par}

\begin{equation}
	x = P_\mathcal{S} x + P_\mathcal{S^\perp} x
\end{equation}

\begin{equation}
	\mathrm{d}\left( x, \mathcal{S} \right) = \norma{P_\mathcal{S^\perp} x}
\end{equation}

\subsection{Gram-Schmidt}

Si $B=\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}$ no es una BOG, podemos construir una a partir de ella:

\begin{eqnarray}
	w_1 & = & v_1\\
	w_2 & = & v_2 - \frac{\pint{w_1}{v_2}}{{\norma{w_1}}^2} \cdot w_1\\
	w_3 & = & v_3 - \frac{\pint{w_1}{v_3}}{{\norma{w_1}}^2} \cdot w_1 - \frac{\pint{w_2}{v_3}}{{\norma{w_2}}^2} \cdot w_2\\
	& \vdots & \\
	w_n & = & v_n - \frac{\pint{w_1}{v_n}}{{\norma{w_1}}^2} \cdot w_1 - \frac{\pint{w_2}{v_n}}{{\norma{w_2}}^2} \cdot w_2 - \ldots - \frac{\pint{w_{n-1}}{v_n}}{{\norma{w_{n-1}}}^2} \cdot w_{n-1}
\end{eqnarray}

Siendo $\left\{ w_1 \ldots w_n \right\}$ una BOG.

\subsection{Matriz de Proyección}

Una matriz es de proyección si cumple:

\begin{itemize}
	\item $P^2=P$
	\item $P=\herm{P}$
\end{itemize}

\begin{equation}
	Px=P_\mathcal{S} x
\end{equation}

Donde $\mathcal{S}=\mathrm{Col}P$

Con $B=\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}$ una BON de $\mathcal{S}$, y siendo $Q=\left[ \begin{array}{ccc} v_1 & \cdots & v_n\\ \downarrow & & \downarrow \end{array} \right]$:

\begin{equation}
	P=QQ^T
\end{equation}

\subsection{Reflexión a través de un hiperplano}

\begin{equation}
	R_\mathcal{S} x= x-2P_{\mathcal{S}^\perp} x = Hx
\end{equation}

Siendo $\mathcal{S}^\perp=gen\left\{w\right\}$ y

\begin{equation}
	H=I-2\frac{ww^T}{w^Tw}
\end{equation}

la matriz de Householder, que cumple:

\begin{itemize}
	\item $H^2=I$
	\item $H=H^T$
\end{itemize}

\subsection{Mínimos Cuadrados}

Si $Ax=b$ es incompatible, existe un $\hat{x}$ tal que:

\begin{itemize}
	\item $A\hat{x}=P_{\mathrm{Col}A}b$
	\item $A^TA\hat{x}=A^Tb$
\end{itemize}

\textbf{Nota:} Si el rango de $A^TA$ es máximo, el $\hat{x}$ es único.

\subsubsection{Propiedades}

\begin{itemize}
	\item $\nul{A^TA}=\nul{A}$
	\item $\ran{A^TA}=\ran{A}$
	\item $A^\#={\left(A^TA\right)}^{-1} A^T$
	\item $A^\# A=I$
	\item $A A^\#=P$ (matriz de proyección sobre $\col{A}$)
	\item $\nul{A A^\#}={\col{A}}^\perp$
\end{itemize}

\subsection{Regresión Lineal}

$\begin{array}{ccc}
	\left. \begin{array}{rcl}
		y_1 & = & mx_1+b\\
		& \vdots & \\
		y_n & = & mx_n+b
	\end{array} \right\}&
	\Longrightarrow &
	\begin{array}{cccc}
		\left[ \begin{array}{cc}
			x_1 & 1 \\ \vdots & \\ x_n & 1
		\end{array} \right] &
		\left[ \begin{array}{c}
			m \\ b
		\end{array} \right] &
		= &
		\left[ \begin{array}{c}
			y_1 \\ \vdots \\ y_n
		\end{array} \right] \\ \rule{0pt}{14pt}
		``A" & ``x" & & ``b"
	\end{array}
\end{array}$

\bigskip

Si no es compatible, entonces $A^T A \left[ \begin{array}{c} \hat{m} \\ \hat{b} \end{array} \right] = A^T y$

\begin{equation}
	\left[ \begin{array}{cc}
		\sum x_i^2 & \sum x_i \\
		\sum x_i & n
	\end{array} \right]
	\left[ \begin{array}{c}
		\hat{m} \\ \hat{b}
	\end{array} \right]
		=
	\left[ \begin{array}{c}
		\sum x_i y_i\\
		\sum y_i
	\end{array} \right]
\end{equation}


\section{Transformaciones Lineales}

\begin{itemize}
	\item $T(u+v)=T(u)+T(v)$
	\item $T(kv)=kT(v)$
	\item $\ker{T}=\left\{ v \in \mathbf{V} /\, T(v)=0_\mathbf{V} \right\}$
	\item $\im{T}=\left\{ w \in \mathbf{W} /\, \exists\ v \in \mathbf{V} \land\, T(v)=w \right\}$
	\item $\dim{\ker{T}}+\dim{\im{T}}=\dim{\mathbf{V}}$
	\item Si $\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}$ son LI $\Longrightarrow T\left( \left\{ v_1 \ldots v_n \right\} \right)$ son LI
\end{itemize}

\subsection{Clasificación}

\begin{itemize}
	\item Mono=inyectiva
		\begin{itemize}
			\item Si $v_1 \neq v_2 \Longrightarrow T(v_1) \neq T(v_2)$
			\item $\ker{T} = 0_{\mathbf{V}}$
			\item $\dim{\mathbf{V}} \leq \dim{\mathbf{W}}$
		\end{itemize}\newpage
	\item Epi=sobreyectiva
		\begin{itemize}
			\item $\im{T}=\mathbf{W}$
			\item $\dim{\mathbf{W}} \geq \dim{\mathbf{V}}$
		\end{itemize}
	\item Iso=biyectiva
		\begin{itemize}
			\item $\dim{\mathbf{V}}=\dim{\mathbf{W}}$
			\item $\exists\ T^{-1}$
		\end{itemize}
\end{itemize}

\subsection{Matriz de una TL}

\begin{equation}
	[T]_{AB} = \left[ \begin{array}{ccc} {\left( T \left( a_1 \right) \right)}_B & \cdots & {\left( T \left( a_n \right) \right)}_B \\ \downarrow & & \downarrow \end{array} \right]
\end{equation}
\begin{equation}
	{\left( T \left( v \right) \right)}_B = [T]_{AB} \cdot v_A
\end{equation}
\begin{equation}
	[G \circ T]_{AC} = [G]_{BC} [T]_{AB}
\end{equation}

\begin{itemize}
	\item $\ran{[T]_{AB}}=\dim{\im{T}}$
	\item Si es iso $\Longrightarrow [T^{-1}]_{AB} = {\left( [T]_{AB} \right)}^{-1}$
	\item $\col{[T]_{AB}} = {\left( \im{T} \right)}_B$
\end{itemize}

Con $\lambda$ (constante para toda base $B$) y $v$ su autovector asociado:

$$T(v)=\lambda\ v$$
$$[T]_{BB}\ v_B = \lambda\ v_B$$

\section{Autovalores y Autovectores}

\begin{equation}
	A\ v=\lambda\ v
\end{equation}

\noindent Donde:

\begin{itemize}
	\item $\lambda$ es tal que $\det{\lambda I -A}=0$
	\item $v$ es tal que: $\left( \lambda I -A \right) = \mathbf{0}$
	\item $	\nul{\lambda_k I -A}=\mathcal{S}_{\lambda_k}$
\end{itemize}

\noindent y:

\begin{itemize}
	\item $X_A (\lambda) = \det{\lambda I -A}$ es el Polinomio Característico de $A$
	\item $\lambda$ es raíz de $X_A$ de multiplicidad algebraica $ma$
	\item $\dim{\mathcal{S}_\lambda}$ es la multiplicidad geométrica $mg$
\end{itemize}

\subsection{Propiedades}

\begin{itemize}
	\item $mg \leq ma$
	\item $\lambda = 0 \Longleftrightarrow A$ no es inversible
	\item $\sum \lambda_i = \sum a_{ii}$
	\item $\det{A} = \prod \lambda_{i}^{{ma}_i}$
	\item A avas distintos corresponden avecs LI
	\item $\lambda$ es ava de $A$ y de $A^T$
	\item $k\lambda$ ava de $kA$ con $v$ avec
	\item $\lambda^m$ ava de $A^m$ con $v$ avec
	\item $\lambda^m+k$ ava de $A^m+kI$ con $v$ avec
	\item Si $P$ es un polinomio, entonces $P(\lambda)$ es ava de $P(A)$
\end{itemize}

\subsection{Diagonalizabilidad}

$A$ es diagonalizable $\Longleftrightarrow$ sus autovectores forman una base.
En estas condiciones, $ma=mg$.

\begin{equation}
	A=CDC^{-1}
\end{equation}

Donde: $$C= \underbrace{\left[ \begin{array}{ccc} v_1 & \cdots & v_n \\ \downarrow & & \downarrow \end{array} \right]}_{\mbox{base de avecs de $A$}}$$
$$ D= \underbrace{\left[ \begin{array}{ccc} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda_n \end{array} \right]}_{\mbox{avals de $A$}}$$

\subsection{Semejanza}

$A$ y $B$ son semejantes si $A=QBQ^{-1}$.

Si $A \sim B$ entonces tienen \textbf{los mismos avales con la misma $mg$ y $ma$}

\section{Matrices Unitarias}

\begin{eqnarray}
	U^{-1} &= &\herm{U}
%\\	U \herm{U} = \herm{U} U & = & I
\end{eqnarray}

\begin{itemize}
	\item $\col{U}=BON$
	\item $\fil{U}=BON$
	\item $\left| \det{U} \right| = 1$
	\item Si $U$ unitaria y $V$ unitaria $\Longrightarrow UV$ unitaria
	\item $\pint{x}{y} = \pint{Ux}{Uy}$ (conserva el PI canónico)
	\item $\left| \lambda \right|=1$
	\item Si $\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}\ BON \Longrightarrow U\left\{ v_1 \ldots v_n \right\}\ BON$
	\item Si $[T]_{AB}$ es unitaria rota y/o refleja.
	\item Si $A$ y $B$ son BON $\Longrightarrow C_{AB}$ es unitaria
\end{itemize}

\section{Matrices Hermíticas}

\begin{equation}
	A=\herm{A}
\end{equation}

\begin{itemize}
	\item $\herm{x} Ax \in \mathbf{R}$
	\item aval $\in \mathbf{R}$
	\item A avales distintos corresponden avecs \textbf{ortogonales}
	\item Si $As \in \mathcal{S} \Longrightarrow As^\perp \in \mathcal{S}^\perp$
\end{itemize}

\subsection{Teorema Espectral}

\begin{equation}
	A=UD\herm{U}
\end{equation}

$$A=\sum \lambda_i\ v_i\, v_i^T$$

\subsection{Formas Cuadráticas}

\begin{equation}
	Q(x)=x^H A x
\end{equation}

\begin{equation}
	\hspace{60pt} x^H R x = k \qquad \mbox{(restricción)}
\end{equation}

\noindent Para eliminar los términos cruzados:

\begin{enumerate}
	\item Si la restricción es de la forma $\normac{x}=k$, saltar al paso \ref{en:norma}. Caso contrario, diagonalizar la matriz $R$ de la restricción:
		\begin{eqnarray}
			\nonumber x^H R x \igual k\\
			\nonumber x^H U D_R U^H x \igual k\\
			w^H D_R w \igual k
		\end{eqnarray}
		con $w=U^H x$, $w^H=x^H U$ y por tanto $x=U w$, $x^H=w^H U^H$
	\item Si la restricción ahora queda $\normac{w}=k$, saltar al paso \ref{en:norma}. Caso contrario, buscar un $z$ tal que $\normac{z}=k$, con $w=A_R z$.
	\item \label{en:norma} Con el $z$ buscado, la forma cuadrática $Q(x)$ queda entonces:
		\begin{eqnarray}
			\nonumber Q(x) \igual x^H A x\\
			\nonumber Q(w) \igual w^H U^H A U w\\
			\nonumber Q(z) \igual z^H A_R^H U^H A U A_R z\\
			Q(z) \igual z^H G z
		\end{eqnarray}
		con la restricción:
		\begin{equation}
			\normac{z}=k
		\end{equation}
	\item Si $G$ resultara diagonal, saltar al paso \ref{en:diag}. Caso contrario, podemos diagonalizar $Q(z)$:
		\begin{eqnarray}
			Q(z) \igual z^H G z\\
			\nonumber Q(z) \igual z^H P D P^H z
		\end{eqnarray}
		y, efectuando un cambio de variable tal que $y=P^H z$ \& $y^H=z^H P$, obtener:\nopagebreak
		\begin{equation}
			Q(z) = y^H D y
		\end{equation}
		Nótese que:\nopagebreak
		\begin{eqnarray}
			\normac{y} \igual y^H y\\
			\nonumber \normac{y} \igual z^H P P^H z\\
			\nonumber \normac{y} \igual z^H z\\
			\nonumber \normac{y} \igual \norma{z}\\
			\normac{y} \igual k
		\end{eqnarray}
	\item \label{en:diag} En estas condiciones, y considerando $\lambda_i=\lambda_M$ el máximo autovalor:
		\begin{eqnarray}
			\nonumber Q(y) \igual y^H D y\\
			\nonumber Q(y) \igual \lambda_1 y_1^2 + \ldots + \lambda_My_i^2 + \ldots + \lambda_n y_n^2\\
			\nonumber Q(y) &\leq& \lambda_M y_1^2 + \ldots + \lambda_My_i^2 + \ldots + \lambda_M y_n^2\\
			\nonumber Q(y) &\leq& \lambda_M \left( y_1^2 + \ldots + y_i^2 + \ldots + y_n^2 \right)\\
			\nonumber Q(y) &\leq& \lambda_M \normac{y}\\
			Q(y) &\leq& \lambda_M k
		\end{eqnarray}
		valor que es alcanzado por la función en $y=\left( 0, \ldots, 1 , \ldots, 0 \right)$, donde $1$ ocupa la posición $i$.
		
		Asimismo, considerando $\lambda_j=\lambda_m$ el mínimo autovalor:
		\begin{eqnarray}
			\nonumber Q(y) \igual y^H D y\\
			\nonumber Q(y) \igual \lambda_1 y_1^2 + \ldots + \lambda_my_j^2 + \ldots + \lambda_n y_n^2\\
			\nonumber Q(y) &\geq& \lambda_m y_1^2 + \ldots + \lambda_my_j^2 + \ldots + \lambda_m y_n^2\\
			\nonumber Q(y) &\geq& \lambda_m \left( y_1^2 + \ldots + y_j^2 + \ldots + y_n^2 \right)\\
			\nonumber Q(y) &\geq& \lambda_m \normac{y}\\
			Q(y) &\geq& \lambda_m k
		\end{eqnarray}
		valor que es alcanzado por la función en $y=\left( 0, \ldots, 1 , \ldots, 0 \right)$, donde $1$ ocupa la posición $j$.
\end{enumerate}

\subsection{Matrices Definidas e Indefinidas}

Una matriz $A$ hermítica es:

\settowidth{\DP}{\bfseries Semidef. negativa}
\setlength{\labelsep}{20pt}

\newlength{\separ}
\settowidth{\separ}{y $ava \leq 0$ \hspace{30pt}}

\begin{basedescript}{\desclabelwidth{\DP}}
	\item[Def. positiva] si $ava>0$ \hspace{50pt} ó bien si $\herm{x}Ax>0 \quad \forall\ x\neq0$
	\item[Semidef. positiva] si $ava \geq 0$ \hspace{50pt} ó bien si $\herm{x}Ax\geq0 \quad \forall\ x\neq0$
	\item[Indefinida] si $ava \geq 0$ y $ava \leq 0$ \hspace{3.8pt} ó bien si $\herm{x}Ax>0$ y $\herm{x}Ax<0$
	\item[Semidef. negativa] si $ava \leq 0$ \hspace{50pt} ó bien si $\herm{x}Ax\leq0 \quad \forall\ x\neq0$
	\item[Def. negativa] si $ava<0$ \hspace{50pt} ó bien si $\herm{x}Ax<0 \quad \forall\ x\neq0$
\end{basedescript}

\newpage

\section{DVS}

\begin{equation}
	A=U \Sigma V^T
\end{equation}

\bigskip

\begin{itemize}
	\item $A\ de\ \mathrm{f\times c}\ / \ran{A}=r$
	\item $\Sigma\ de\ \mathrm{f\times c}\ / \Sigma = \underbrace{\left[ \begin{array}{c|c} D_r & 0\\ \hline 0 & 0 \end{array} \right]}_{c} \bigg\} f$
	\item $U\ de\ \mathrm{f\times f}\ \mathrm{ortogonal}\ / U=\Big[ \underbrace{u_1 \ldots u_r}_{\mathrm{BON\ } \col{A}} ; \underbrace{u_{r+1} \ldots u_f}_{\mathrm{BON\ } \col{A}^\perp} \Big]$
	\item $V\ de\ \mathrm{c\times c}\ \mathrm{ortogonal}\ / V=\Big[ \underbrace{v_1 \ldots v_r}_{\mathrm{BON\ } \fil{A}} ; \underbrace{v_{r+1} \ldots v_c}_{\mathrm{BON\ } \fil{A}^\perp} \Big]$
\end{itemize}

\subsection{DVS reducida}

\begin{equation}
	A=U_r D_r V_r^T
\end{equation}

\begin{itemize}
	\item $D_\mathrm{r}=\left( \begin{array}{ccc} \sigma_1 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \sigma_r \end{array} \right)$ \hfill \settowidth{\DP}{los valores singulares de $A$} \parbox{\DP}{donde $\sigma_1 \ldots \sigma_r$ son los\\ valores singulares de $A$}
	\item $U_r\ de\ \mathrm{f\times r}\ \mathrm{ortogonal}/ U_r=\big[ \underbrace{u_1 \ldots u_r}_{\mathrm{BON\ } \col{A}} \big]$
	\item $V_r\ de\ \mathrm{c\times r}\ \mathrm{ortogonal}/ V_r=\big[ \underbrace{v_1 \ldots v_r}_{\mathrm{BON\ } \fil{A}} \big]$
\end{itemize}

\subsection{Pseudoinversa de Moore-Penrose}

\begin{equation}
	A^\dagger=V\Sigma^\dagger U^T
\end{equation}

\begin{equation}
	A^\dagger=V_r D_r^{-1} U_r^T
\end{equation}

\begin{itemize}
	\item $\Sigma^\dagger = \left[ \begin{array}{c|c} D_r^{-1} & 0 \\ \hline 0 & 0 \end{array} \right]$
\end{itemize}

\begin{itemize}
	\item $D_r^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} {}^1/{}_{\sigma_1} & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & {}^1/{}_{\sigma_r} \end{array} \right)$
\end{itemize}

\subsubsection{Propiedades}

\begin{itemize}
	\item $AA^\dagger$ es Matriz de Proyección sobre $\col{A}$
	\item $A^\dagger A$ es Matriz de Proyección sobre $\fil{A}$
	\item $AA^\dagger A = A$
	\item Si $A$ es inversible entonces $A^\dagger=A^{-1}$
\end{itemize}

\subsubsection{Aplicación a Mínimos Cuadrados}

\begin{eqnarray}
	\nonumber A\hat{x} & = & P_{\col{A}} b\\
	A\hat{x} & = & AA^\dagger b\\
	\nonumber & &\\
	\hat{x} & = & \underbrace{A^\dagger b}_{\in\ \fil{A}} + \underbrace{x_{\nul{A}}}_{\in\ \fil{A}^\perp}\\
	\nonumber \norma{\hat{x}}^2 & = & \norma{A^\dagger b}^2 + \norma{x_{\nul{A}}}^2\\
	\nonumber \norma{\hat{x}} & \leq & \norma{A^\dagger b}\\
	A^\dagger b & = & x^\dagger
\end{eqnarray}

Entonces, $x^\dagger$ es la solución del problema de mínimos cuadrados \emph{de mínima norma}.

\section{Ecuaciones Diferenciales}

\subsection{Primer Orden}

\label{pord}

\begin{equation}
	y'+p(x)y=f(x) \label{eq:edop}
\end{equation}

\subsubsection{Homogéneo}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rclll}
	y_h'+p(x)y_h 						\igual 0 															& \escom{} \\
	y_h' 									\igual -p(x)y_h 												& \escom{Resto $p(x)y_h$}\\
	\displaystyle \frac{y_h'}{y_h} 				\igual -p(x) 													& \escom{Divido por $y_h$}\\
	\displaystyle \inti \frac{y_h'}{y_h} 	\igual \displaystyle -\iinti p(x)\dx 	& \escom{Integro}\\
	\ln{y_h} 							\igual -\iinti p(x)\, dx 								& \escom{} \\
	y_h 									\igual e^{-\iinti p(x)\, dx} 						& \hspace{20pt} \addtocounter{equation}{1}(\theequation) \hspace{50pt} \escom{paso $e$ baseando}
\end{array}
\end{displaymath}

\subsubsection{Particular}

\paragraph{Variación de las Constantes}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rclll}
	y_p \igual u y_H & \label{eq:edopbacon} \addtocounter{equation}{1}(\theequation) \hspace{20pt} \escom{\parbox[c]{140pt}{Propongo, siendo $y_H$\\ un $y_h$ particular}}\\
	y_p' \igual u'y_H+uy_H' & \escom{Derivo}\\
	u'y_H+uy_H'+p(x)uy_H \igual f(x) & \escom{Reemplazo $y$ en (\ref{eq:edop})}\\
	u'y_H+u\cancel{\left(y_H'+p(x)y_H\right)} \igual f(x) & \escom{Factor común $u$}\\
	\displaystyle u'y_H \igual f(x) & \escom{\parbox[c]{70pt}{Lo otro es solución\\ del homogéneo}}\\
	u' \igual \frac{f(x)}{y_H} & \escom{Divido por $y_H$}\\
	u \igual \inti \frac{f(x)}{y_H} = \inti \frac{f(x)}{e^{-\iinti p(x)\, dx}} & \escom{Integro}\\
	y_p \igual y_H \inti \frac{f(x)}{y_H} = e^{-\iinti p(x)\, dx} \iinti \frac{f(x)}{e^{-\iinti p(x)\, dx}} & \escom{Reemplazo $u$ en (\hyperref[eq:edopbacon]{\theequation})}\\
\end{array}
\end{displaymath}

\paragraph{Coeficientes Indeterminados}

\begin{equation}
	y'+ay=f(x)=\left\{ \begin{array}{l}e^{\alpha x} P_n(x)\\ e^{\alpha x} \cos{bx}\\ e^{\alpha x} \sin{bx} \end{array} \right. \label{eq:pcoffin}
\end{equation}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rclll}
	y_p \igual e^{\alpha x} Q_m(x) &\escom{Propongo}\\
	y_p' \igual \alpha e^{\alpha x} Q_m(x) + e^{\alpha x} Q_m'(x) &\escom{Derivo}\\
	\alpha e^{\alpha x} Q_m(x) + e^{\alpha x} Q_m'(x) + ae^{\alpha x} Q_m(x) \igual e^{\alpha x} P_n(x) &\escom{Reemplazo en (\ref{eq:pcoffin})}\\
	\cancel{e^{\alpha x}} \Big[\alpha Q_m(x) + Q_m'(x) + a Q_m(x)\Big] \igual \cancel{e^{\alpha x}} P_n(x) &\escom{Factor común y cancelo $e^{\alpha x}$}\\
	%\alpha Q_m(x) + a Q_m(x) + Q_m'(x) \igual P_n(x) &\escom{}\\
	\left(\alpha + a\right)Q_m(x)+Q_m'(x) \igual P_n(x) &\escom{Factor común $Q_m(x)$}\\
\end{array}
\end{displaymath}

\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
	\multicolumn{1}{c|}{Si $\alpha + a \neq 0$} & \multicolumn{1}{|c}{Si $\alpha + a = 0$}\\
	\small $m=n$ y busco los coeficientes de $Q_m(x)$ &\small $m=n+1$ y \parbox[t]{100pt}{$Q_m'(x)=P_n(x)$\\ $Q_m(x)= \int P_n(x) \dx$}
\end{tabular}
\end{center}

\subsection{Segundo Orden}

\begin{equation}
	y''+a_1y'+a_0y=f(x) \label{eq:edos}
\end{equation}

\subsubsection{Homogéneo}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rclll}
	\alpha^2+a_1\alpha+a_0 \igual 0 &\escom{\parbox[c]{90pt}{Planteo el polinomio\\ fundamental asociado}}\\
	\alpha_1 & \& & \alpha_2 &\escom{Obtengo sus raíces}\\
	z'-\alpha_1z \igual 0 &\escom{\parbox[t]{110pt}{Me armo una ED homogénea de 1° orden y la resuelvo}}\\
	w'-\alpha_2w \igual z &\escom{\parbox[t]{120pt}{Me armo una ED no homogénea de 1° orden y la resuelvo}}\\
	y_h \igual w_h+w_p &\escom{}
\end{array}
\end{displaymath}

\subsubsection{Particular}

\paragraph{Variación de las Constantes}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rclll}
	y_p \igual u_1y_{H1}+u_2y_{H2} &\escom{Propongo}\\
	y_p' \igual u_1'y_{H1}+u_1y_{H1}'+u_2'y_{H2}+u_2y_{H2}' &\escom{Derivo}\\
	y_p'' \igual u_1''y_{H1}+2u_1'y_{H1}'+u_1y_{H1}''+u_2''y_{H2}+2u_2'y_{H2}'+u_2y_{H2}'' & \escom{Derivo}\\
	f(x) \igual u_1''y_{H1}+2u_1'y_{H1}'+u_1y_{H1}''+u_2''y_{H2}+2u_2'y_{H2}'+u_2y_{H2}''+ &\escom{Reemplazo en (\ref{eq:edos})}\\
	& & +a_1\left(u_1'y_{H1}+u_1y_{H1}'+u_2'y_{H2}+u_2y_{H2}'\right)+ & &\\
	& & +a_0\left(u_1y_{H1}+u_2y_{H2}\right) & &\\
	f(x) \igual u_1\cancel{\left(y_{H1}''+a_1y_{H1}'+a_0y_{H1}\right)} + u_2\cancel{\left(y_{H2}''+a_1y_{H2}'+a_0y_{H2}\right)} + &\escom{\parbox[c]{130pt}{Factor común $u_1$ y $u_2$\\(lo otro es solución del homogéneo)}}\\
	& & +u_1'y_{H1}+u_2'y_{H2}+u_1''y_{H1}+2u_1'y_{H1}'+u_2''y_{H2}+2u_2'y_{H2}' & \label{eq:edosbacon} \addtocounter{equation}{1}(\theequation) \escom{}\\
	\\
	& & 0 = u_1'y_{H1}+u_2'y_{H2} &\escom{Decreto}\\
	& & 0 = u_1''y_{H1}+u_1'y_{H1}'+u_2''y_{H2}+u_2'y_{H2}' &\escom{Derivo}\\
	\\
	f(x) \igual \cancel{u_1'y_{H1}+u_2'y_{H2}}+\cancel{u_1''y_{H1}}+\cancel{2}u_1'y_{H1}'+\cancel{u_2''y_{H2}}+\cancel{2}u_2'y_{H2}' &\escom{Reemplazo en (\hyperref[eq:edosbacon]{\theequation})}\\
\end{array}
\end{displaymath}

\noindent Resulta: $\left\{ \!\! \begin{array}[c]{rcl} u_1'y_{H1}+u_2'y_{H2} \igual 0\\ u_1'y_{H1}'+u_2'y_{H2}' \igual f(x) \end{array} \right.$ donde  $\left\{ \begin{array}{rcl} u_1' \igual \displaystyle \frac{-f(x)y_{H2}}{W\left(y_{H1},y_{H2}\right)}\\ \\u_2' \igual \displaystyle \frac{-f(x)y_{H1}}{W\left(y_{H1},y_{H2}\right)} \end{array} \right. $

\paragraph{Coeficientes Indeterminados}

\begin{displaymath}
\begin{array}{rclll}
	\raisebox{-10pt}[0pt][0pt]{\footnotesize Propongo \Bigg\{ } y_p \igual e^{kx}Q(x) &\escom{}\\
	y_p \igual e^{kx}Q(x)x &\escom{Si $e^{kx}$ es raíz de $f(x)$}\\
	y_p' \igual \ldots &\escom{Derivo}\\
	y_p'' \igual \ldots &\escom{Derivo}\\
	f(x) \igual \ldots &\escom{Reemplazo en (\ref{eq:edos})}\\
	\igual &\escom{\parbox{120pt}{Despejo coeficientes de $Q(x)$\\ y/o de $\left\{ \sin{x}, \cos{x} \right\}$}}
\end{array}
\end{displaymath}

\subsection{Sistemas}

\begin{equation}
	Y' = AY + v \label{eq:sist}
\end{equation}

\begin{eqnarray*}
	Y' \igual AY + v\\
	Y' \igual C D C^{-1} Y + v\\
	C^{-1} Y' \igual D C^{-1} Y + C^{-1} v
\end{eqnarray*}

\noindent Con $\left\{ \begin{array}{ccl} C^{-1}Y \igual Z\\ C^{-1}Y' \igual Z' \\ C^{-1}v \igual w \end{array} \right.$ queda:

\begin{eqnarray*}
	Z' \igual D Z + w\\
	\left( \begin{array}{c} z_{1}' \\ z_{2}' \end{array} \right) \igual \left( \begin{array}{cc} a & 0\\ 0 & b \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} z_1\\ z_2 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} w_1\\ w_2 \end{array} \right)\\
	\left( \begin{array}{c} z_{1}' \\ z_{2}' \end{array} \right) \igual \left( \begin{array}{c} a z_1 + w_1\\ b z_2 + w_2 \end{array} \right)
\end{eqnarray*}

\noindent Finalmente, queda:

\begin{eqnarray*}
	\left( \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \end{array} \right) \igual \left( \begin{array}{c} z_{h1}\\ z_{h2} \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} z_{p1}\\ z_{p2} \end{array} \right)\\
	Z \igual Z_h + Z_p
\end{eqnarray*}

\noindent Donde $\left\{ \begin{array}{rcl} z_1 \igual z_{h1} + z_{p1}\\ z_2 \igual z_{h2} + z_{p2} \end{array} \right.$ se encuentran con alguno de los métodos explicados en \ref{pord}.

\medskip

\noindent Con $Y = CZ $ queda:

\begin{eqnarray}
	Y \igual C Z_h + C Z_p
\end{eqnarray}

\end{document}