Examen Parcial - 61.08. Àlgebra - Sin datos de fecha ni tema

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Enunciado

1) (a) Sea $<tex>A \in \mathbf R^{nxn}</tex>$ una matriz de rango $<tex>m</tex>$ y $<tex>A=QR</tex>$ una descomposición QR normalizada de A, i) ¿qué dimensión y qué rango tiene $<tex>R</tex>$ ?, ii)deducir que $<tex>A^T A=R^T R</tex>$ y que $<tex>A^T A</tex>$ es inversible.

(b) Sabiendo que $<tex> \left[{\begin{array}{cc}1 & 1 \\-1 & 1 \\1 & 0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{ccc}\sqrt{3} & -\sqrt{3} & 0 \\0 & \sqrt{2} & -2\sqrt{2}\end{array}}\right]</tex>$ y $<tex>b=[\begin{array}{ccc}\sqrt{3} & -\sqrt{3} & \sqrt{3}\end{array}]^T</tex>$ ,hallar la matriz de proyección a $<tex>col(A)</tex>$ y todos los $<tex>x \in \mathbf R^3</tex>$ que minimicen $<tex>\Vert Ax-b \Vert</tex>$ .

2) (a) Sea $<tex>T \in \mathcal L (V,W)</tex>$ y $<tex>(\cdot,\cdot)_W</tex>$ un producto interno en $<tex>W</tex>$ . Demostrar que $<tex>(x,y)_V = (T(x),T(y))_W</tex>$ , es un producto interno en $<tex>V</tex>$ si y sólo si $<tex>T</tex>$ es inyectiva. b) Demostrar que $<tex>(x,y)=X^T A^T Ay</tex>$ con $<tex>A=\left[{\begin{array}{cc}1 & 1 \\1 & 2 \\0 & 1\end{array}}\right]</tex>$ es un producto interno en $<tex>\mathbf R^2</tex>$ . (Sugerencia: use (a)).

3)Sean $<tex>B=\{v_1;v_2;v_3\}</tex>$ y $<tex>C=\{w_1;w_2;w_3\}</tex>$ bases de los espacios vectoriales $<tex>V</tex>$ y $<tex>W</tex>$ respectivamente.

(a)Justificar la existencia de una única transformación lineal $<tex>T:V \rightarrow W</tex>$ que verifica $<tex>T(v_1+2v_2)=w_1+w_2+w_3</tex>$ , $<tex>T(v_1+v_2)=w_1-2w_2+w_3</tex>$ y $<tex>T(v_1-v_3)=2w_1-w_2+2w_3</tex>$ y encontrar bases de $<tex>Nu(T)</tex>$ y de $<tex>Im(T)</tex>$ .

(b) Encontrar bases $<tex>D</tex>$ de $<tex>V</tex>$ y $<tex>E</tex>$ de $<tex>W</tex>$ tales que $<tex>[T]_{DE}</tex>$ tenga tantas columnas y filas nulas como sea posible.

4)Sea $<tex>T \in \mathcal L (\mathcal P_2,\mathbf R^{2x2})</tex>$ definida por $<tex>T(a_0 + a_1 t + a_2 t^2=a_0 B + a_1 B A + a_2 B A^2</tex>$ con $<tex> B \in \mathbf R^{2x2}</tex>$ inversible y $<tex>A=\left[{\begin{array}{cc}1 & \alpha \\-\alpha & 1\end{array}}\right]</tex>$ .

(a) Hallar los valores de $<tex>\alpha</tex>$ para los cuales $<tex>dim(Nu(T))=1</tex>$

(b) Considerando $<tex>B=1</tex>$ , $<tex>\alpha = 1</tex>$ y el producto interno en $<tex>\mathbf R^{2x2}</tex>$ , $<tex>(M,N)=m_{11} n_{11}+m_{12} n_{12}+m_{21} n_{21}+m_{22} n_{22}</tex>$ , expresar $<tex>C=\left[{\begin{array}{cc}1 & 2 \\0 & 0\end{array}}\right]</tex>$ como $<tex>C=C_1+C_2</tex>$ , con $<tex>C_1 \in Im(T) </tex>$ y $<tex>C_2 \bot Im(T)</tex>$

El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.

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