Examen Parcial - 61.03. Algebra II -
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
  - Punto V
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.03. Algebra II -

Cátedra: Todas
Fecha: 2da Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2011
Día: 12/11/2011

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Sea $<tex> E = \left \{ e_1,e_2,e_3 \right \} </tex>$ la base canónica de $<tex>R^3</tex>$ y sea $<tex>f:R^3 \to R^3</tex>$ tal que $<tex>f(x)=Ax</tex>$ donde $<tex> A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -3 & -2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}</tex>$ . ¿Existen isomorfismos lineales $<tex>g:R^3 \to R^3</tex>$ y $<tex>h:R^3 \to R^3</tex>$ tales que $<tex>[g o f o h]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</tex>$ ? En caso afirmativo, calcular $<tex>[g^{-1}]_{E,E}</tex>$ y $<tex>[b]_{E,E}</tex>$ para algunos de estos isomorfismos.

Punto II

En $<tex>R^3</tex>$ , consideramos el producto interno canónico. Dados $<tex>x_{0}=[2,2,1]^t</tex>$ y $<tex> S = \left \{ x \in R^{3} : x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = 0 \right \} </tex>$ , encontrar, si existen, todos los $<tex>x \in S</tex>$ tales que:

$<tex>||x||=1 </tex>$
El ángulo formado entre $<tex>x</tex>$ y $<tex>x_0</tex>$ es $<tex>\frac{\pi}{6}</tex>$

Punto III

Sea $<tex>(.,.)</tex>$ el producto interno en el espacio $<tex> C^{6}[(-1,1],R] </tex>$ dado por $<tex>(f,g)= \int_{-1}^{1} \, f(x)g(x) \, dx </tex>$ . Sea V el subespacio de $<tex> C^{6}[(-1,1],R] </tex>$ generado por $<tex> f_{1},f_{2},f_{3} </tex>$ donde $<tex>f_{1}(x)=1,f_{2}(x)=x,f_{3}(x)=|x|-\frac{1}{2}</tex>$ y sea $<tex> \pi : V \to V </tex>$ una proyección de rango 1 tal que $<tex>||\pi (f_1 - f_2)|| = ||f_{1} - f_{2}||</tex>$ . Calcular la matriz de $<tex>\pi</tex>$ respecto de la base $<tex> B = \left \{ f_1,f_2,f_3 \right \}</tex>$ .

Punto IV

Sea $<tex>f:R^2 \to R^2</tex>$ tal que $<tex>f(x) = (-\frac{3}{5}x_1 + \frac{4}{5}x_2 , \frac{4}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2)^t </tex>$ . Sabiendo que $<tex>f</tex>$ es la simetría respecto de cierto subespacio S de $<tex>R^2</tex>$ , encontrar todos los $<tex>x \in R^2</tex>$ tales que $<tex>d(x,S^{\perp}) = 2</tex>$ . (Considerar el producto interno canónico).

Punto V

Dada $<tex> A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} </tex>$ y dado $<tex> b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </tex>$ . Sean P y R las matrices de las proyecciones sobre el espacio columna de A y sobre el espacio fila de A, respectivamente. Encontrar todos los $<tex> x \in R^2 </tex>$ que hacen mínima la norma $<tex> ||P(ARx-b)|| </tex>$ . ¿Cuál es el valor mínimo de esta norma? (Considerar el producto interno canónico).

Resolución

Discusión

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