Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 02/11/2009 - Tema 1
- Enunciado

2009 - Tema 1

Sea $<tex> C^0 ( \Re , \Re )</tex>$ el espacio vectorial real de las funciones continuas $<tex> f: \Re \rightarrow \Re </tex>$ y sea $<tex> C^1 ( \Re , \Re ) </tex>$ el espacio vectorial real de las funciones $<tex> f: \Re \rightarrow \Re </tex>$ de clase $<tex> C^1 </tex>$ . Compruebe que la aplicación $<tex> T:C^0 ( \Re , \Re ) \rightarrow C^1 ( \Re , \Re ) </tex>$ dada por $<tex> T(f_(x)) = \int_0^1 f(t) dt </tex>$ es una transformación lineal bien definida y encuentre una transformación lineal $<tex> L: C^1 ( \Re , \Re ) \rightarrow C^0 ( \Re , \Re ) </tex>$ tal que $<tex> L o T = I </tex>$ ( = identidad en $<tex> C^0 ( \Re , \Re ) </tex>$ ). ¿Es $<tex> T </tex>$ un isomorfismo lineal? ¿Es $<tex> L </tex>$ un isomorfismo lineal?

Ejercicio 2

Sea $<tex> ( . , . ) </tex>$ un producto interno en $<tex>\Re^3</tex>$ para el cual $<tex>B=\{u,v,w\}</tex>$ es una base ortonormal, donde $<tex>u= \begin{bmatrix} {1} \\ {1} \\ {0}\end{bmatrix} , v= \begin{bmatrix} {1} \\ {2} \\ {1}\end{bmatrix} </tex>$ y $<tex> w= \begin{bmatrix} {1} \\ {1} \\ {1}\end{bmatrix} </tex>$ . Dado $<tex> S = gen \{ \begin{bmatrix} {0} & {1} & {0}\end{bmatrix} ^t \}</tex>$ , hallar todos los elementos $<tex>x \in \Re^3</tex>$ que verifican $<tex> (u,v)=0 </tex>$ y además $<tex> d(x,S)=d(x,S^{\perp} )=\sqrt{2}</tex>$ (donde la distancia es la asociada al producto interno dado).

Ejercicio 3

Encontrar todas las matrices $<tex> M \in \Re^3x3 </tex>$ que verifican simultáneamente las siguientes tres condiciones: a) $<tex>M^t = M </tex>$ , b) $<tex>M^2 = M </tex>$ y c) $<tex> M \begin{bmatrix} {1}\\ {1}\\ {1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {0}\\ {1}\\ {1} \end{bmatrix} </tex>$

Ejercicio 4

Dada la matriz $<tex> A = \begin{bmatrix}{1}&{2}\\{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}</tex>$ , hallar todos los $<tex> b \in \Re^3</tex>$ que verifican simultáneamente: (producto interno canónico): 1) $<tex> \|P_{Nul(A^t)} (b) - P_{Col(A)} (b) \| = \sqrt{35} </tex>$ y 2) Para todo $<tex> x \in \Re^2 : \|A \begin{bmatrix} {1}\\ {1} \end{bmatrix} - b \| \leq \| Ax - b \| </tex>$ .

Ejercicio 5

Sea $<tex> M \in \Re^3x3 </tex>$ una matriz simétrica tal que $<tex> M^2 = I </tex>$ . Sabiendo que el subespacio $<tex> S = \{ x \in \Re^3 : M x + x = 0 \} </tex>$ tiene dimensión 2 y que $<tex> M \begin{bmatrix} {1}\\ {-1}\\{1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {1}\\ {-1}\\{1} \end{bmatrix} </tex>$ , calcular la matriz de la proyección (en $<tex> \Re^3 </tex>$ ) sobre $<tex> S^{\perp} </tex>$ respecto de la base canónica. (Considere el producto interno canónico).

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 02/11/2009 - Tema 1

Enunciado

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Ejercicio 5