Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 27/10/2007
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

2007

Cátedra: Indistinta
Fecha: 1° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2007
Día: 27/10/2007
Tema: 2

Enunciado

Punto I

Demuestre que $<tex>\left\langle p,q \right\rangle =\int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt</tex>$ es producto interno en $<tex>\mathcal{P}_n</tex>$ para todo $<tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>$ .
Considere en $<tex>\mathcal{P}_3</tex>$ el p.i. definido en (a). Halle el elemento de de $<tex>\mathcal{S}=\left\{ p \in \mathcal{P}_3: p=a+bt^2, \quad a,b \in \mathbf{R} \right\}</tex>$ más cercano a $<tex>q=t^2+t^3</tex>$ .

Punto II

Sean $<tex>P_1 \in \mathbf{R}^{n \times n}</tex>$ y $<tex>P_2 \in \mathbf{R}^{nxn}</tex>$ matrices de proyección tales que $<tex>P_1P_2=0</tex>$ .
Pruebe que $<tex>P=(P_1-P_2)^2</tex>$ es matriz de proyección. (Sugerencia: calcule primero $<tex>P_2P_1</tex>$ .)
Hallar los $<tex>x \in \mathbf{R}^3</tex>$ que satisfagan simultáneamente:
1. $<tex> \left\| Ax-b \right\| \leq \left\| Az-b \right\|</tex>$ para todo $<tex>z \in \mathbf{R}^3</tex>$ .
2. $<tex>x \in \mathrm{Fil}(A)</tex>$ ,
  siendo $<tex>A= \left[ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right]</tex>$ y $<tex>b=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 0 \end{array} \right]</tex>$ .

Sea $<tex>\mathcal{S}=\left\{ A \in \mathbf{R}^{2\times 2}:A^T=A \right\}</tex>$ y sea $<tex>T \in \mathcal{L}\left( \mathcal{S},\mathbf{R}^{2\times 2} \right)</tex>$ definida por $<tex>T(A)=AM+MA</tex>$ , con $<tex>M= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\2 & 1\end{array} \right]</tex>$ .

Probar que $<tex>T</tex>$ es inyectiva, y que su imagen es $<tex>\mathcal{S}</tex>$ .
Encontrar bases $<tex>B</tex>$ de $<tex>\mathcal{S}</tex>$ y $<tex>C</tex>$ de $<tex>\mathbf{R}^{2 \times 2}</tex>$ tales que $<tex>[T]_{BC}</tex>$ tenga unos en la diagonal principal y ceros en el resto.

Punto IV

Sea $<tex>B=\{v_1,v_2,v_3\}</tex>$ base de un $<tex>\mathbf{R}</tex>$ -espacio vectorial $<tex>V</tex>$ .

¿Para qué valores de $<tex>\alpha \in \mathbf{R}</tex>$ existe $<tex>T \in \mathcal{L}(V)</tex>$ tal que:
$<tex>T(v_2+ \alpha v_3)=v_1+\alpha v_2+v_3</tex>$
$<tex>T(v_1+v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3</tex>$
$<tex>T(v_1+ \alpha v_2+v_3)=\alpha v_1+ 2v_2</tex>$ ?
¿para cuáles de ellos es T única?
Hallar, de entre los valores de $<tex>\alpha</tex>$ para los cuales la transformación $<tex>T</tex>$ del punto (a) es única, aquéllos que verifican la condición $<tex>\mathrm{Nu}(T)\neq 0</tex>$ . Para tales valores hallar bases de $<tex>\mathrm{Nu}(T)</tex>$ y de $<tex>\mathrm{Im}(T)</tex>$ .

El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.

Resolución

Punto I

$<tex>T)</tex>$ $<tex>\left\langle p,q \right\rangle =\int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt</tex>$ PI en $<tex>\mathcal{P}_n</tex>$ con $<tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>$ .
$<tex>D)</tex>$
1. $<tex>T_1)</tex>$ $<tex>\left\langle p,q \right\rangle = \left\langle q,p \right\rangle</tex>$
  $<tex>\begin{array}{lrcccc} D_1) & \left\langle p,q \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt & & \\ & \left\langle p,q \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! q(t)p(t) t^2 \, dt & = & \left\langle q,p \right\rangle \end{array}</tex>$
2. $<tex>T_2)</tex>$ $<tex>\left\langle p, \alpha q \right\rangle = \alpha \left\langle p,q \right\rangle</tex>$
  $<tex>\begin{array}{lrcl} D_2) & \left\langle p, \alpha q \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) \left( \alpha q(t) \right) t^2 \, dt \\ & & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! \alpha p(t) q(t) t^2 \, dt \\ & & = & \alpha \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) q(t) t^2 \, dt \\ & & = & \alpha \left\langle p,q \right\rangle \end{array}</tex>$
3. $<tex>T_3)</tex>$ $<tex>\left\langle p, q + r\right\rangle = \left\langle p,q \right\rangle + \left\langle p,r \right\rangle</tex>$
  $<tex>\begin{array}{lrcl} D_3) & \left\langle p, q + r \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) \left[ q(t) + r(t) \right] t^2 \, dt \\ & & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! \left[ p(t) q(t) t^2 + p(t) r(t) t^2 \right] \, dt \\ & & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) q(t) t^2 \, dt + \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) r(t) t^2 \, dt \\ & & = & \left\langle p,q \right\rangle + \left\langle p,r \right\rangle \end{array}</tex>$
4. $<tex>T_4)</tex>$ $<tex>\left\langle p, p \right\rangle \geq 0 \ \forall \ p \in \mathcal{P}_n</tex>$
  $<tex>\begin{array}{lccccc} D_4) & \left\langle p,p \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! {\left[ p(t) \right]}^2 t^2 \, dt & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! {\left[ p(t) t \right]}^2 \, dt\\ \end{array}</tex>$ .
  Lo que aquí tenemos es la integral de una funcón $<tex>f = {\left( p(t)+ t \right)}^2 \geq 0 \ \forall \ t</tex>$ . Como la integral puede interpretarse geométricamente como el área bajo la curva que es gráfico de $<tex>f</tex>$ (si $<tex>f \geq 0</tex>$ ), y como $<tex>f \geq 0 \ \forall \ t</tex>$ , se desprende que dicha área será positiva, y por lo tanto también la integral, y entonces: $<tex> \left\langle p , p \right\rangle \geq 0 \ \forall \ p \in \mathcal{P}_n</tex>$ .
5. $<tex>H_5)</tex>$ $<tex>p = 0</tex>$
  $<tex>T_5)</tex>$ $<tex>\left\langle p, p \right\rangle = 0</tex>$
  $<tex>\begin{array}{lccc} D_5) & 0 & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! 0 t^2 \, dt \end{array}</tex>$
6. $<tex>H_6)</tex>$ $<tex>\left\langle p, p \right\rangle = 0</tex>$
  $<tex>T_6)</tex>$ $<tex>p = 0</tex>$
  $<tex>\begin{array}{lccccccccc} D_6) & 0 = & \left\langle 0,0 \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! {\left[ p(t) t \right]}^2 \, dt \end{array}</tex>$ .
  Llamando $<tex>F(t)</tex>$ a la primitiva de $<tex>f={\left( p(t)+ t \right)}^2</tex>$ , es:
  $<tex>\begin{array}{ccccc} 0 & = & F(1) & - & F(-1)\\ & & F(1) & = & F(-1)\end{array}</tex>$ .
  Por otro lado, sabemos que $<tex>F</tex>$ es siempre creciente (o, a lo sumo, constante), pues su derivada, $<tex>f = {\left( p(t)+ t \right)}^2</tex>$ , es mayor o igual a cero para todo $<tex>t</tex>$ .
  Es claro que en estas condiciones, debe ser $<tex>F</tex>$ constante, pues $<tex>F(1)=F(-1)</tex>$ y $<tex>F' = f = {\left( p(t)+ t \right)}^2 \geq 0 \ \forall \ t</tex>$ . Luego, si
  $<tex>\begin{array}{ccccccc} F(t) & = & k & \Longrightarrow & F'(t) & = & 0 \\ F'(t) & = & f & = & {\left( p(t)+ t \right)}^2 & = & 0 \ \forall \ t \end{array}</tex>$ ,
  y como no es cierto que $<tex>t^2 =0 \ \forall \ t</tex>$ ,
  debe ser $<tex>p(t)=p=0 \ \forall \ t</tex>$
  Por cumplirse las seis condiciones expuestas, queda probado que $<tex>\left\langle p,q \right\rangle =\int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt</tex>$ es producto interno en $<tex>\mathcal{P}_n</tex>$ para todo $<tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>$ .
$<tex>\mathcal{S}=\left\{ p \in \mathcal{P}_3: p=a+bt^2, \quad a,b \in \mathbf{R} \right\}</tex>$ .
El elemento $<tex>s \in \mathcal{S}</tex>$ buscado es tal que
$<tex>d\left( s, q \right) \leq d \left( x, q \right) \ \forall \ s \in \mathcal{S}</tex>$
id est, $<tex>s = P_\mathcal{S}q</tex>$ .

$<tex>B = \left\{ t ; t^3 \right\}</tex>$ es base de $<tex>\mathcal{S}</tex>$ .
Con el método de Gram-Schmidt puedo hallar una BOG¹⁾ de $<tex>\mathcal{S}</tex>$ .
$<tex>BOG = \left\{ t ; v_2 \right\}</tex>$ , donde
$<tex>\begin{array}{ccccccc} v_2 & = \displaystyle & t^3 - \frac{ \displaystyle \left\langle t , t^3 \right\rangle}{ \displaystyle \left\langle t , t \right\rangle} \cdot t & & & & \\v_2 & = & \displaystyle t^3 \frac{ \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! t^6 \, dt}{ \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! t^4 \, dt} \cdot t & = & \displaystyle t^3 - \frac{\frac{2}{7}}{\frac{2}{5}} \cdot t & = & \displaystyle t^3-\frac{5}{7}t\end{array}</tex>$
$<tex>BOG=\left\{ t; t^3-\frac{5}{7}t \right\}</tex>$
$<tex>\begin{array}{ccccccc} P_\mathcal{S}q & = & s & = & \displaystyle \frac{ \displaystyle \left\langle t , t^2 + t^3 \right\rangle}{ \displaystyle \left\langle t , t \right\rangle} \cdot t + \frac{ \displaystyle \left\langle t^3 -\frac{5}{7}t , t^2 + t^3 \right\rangle}{ \displaystyle \left\langle t^3 -\frac{5}{7}t , t^3 -\frac{5}{7}t \right\rangle} \cdot \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) & & \\ & & s & = & \displaystyle \frac{ \displaystyle \int_{-1}^1 \!\!\! \left( t^3+t^4 \right) t^2 \, dt}{ \displaystyle \frac{2}{5}} \cdot t + \frac{ \displaystyle \int_{-1}^1 \!\!\! \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) \left( t^2 + t^3 \right) t^2 \, dt}{ \displaystyle \int_{-1}^1 \!\!\! {\left( t^3 -\frac{5}{7}t \right)}^2 t^2 \, dt} & & \\ & & s & = & \displaystyle \frac{\frac{2}{7}}{\frac{2}{5}} t + \frac{\frac{8}{441}}{\frac{8}{441}} \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) & & \\ & & s & = & \displaystyle \frac{5}{7}t + 1 \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) & & \\ & & s & = & \displaystyle \frac{5}{7}t-\frac{5}{7}t+t^3 & = & t^3 \end{array}</tex>$

Punto II

$<tex>\begin{array}{lll} H) & P_1 P_2 = \mathbf{0} & \\ & \left. \begin{array}{c} P_1 \in \mathbf{R}^{n \times n} \\ P_2 \in \mathbf{R}^{n \times n} \end{array} \right\} & \mbox{matrices de proyecci\'on (m.p.)} \end{array}</tex>$
$<tex>T) \quad P=(P_1-P_2)^2</tex>$ es matriz de proyección.
$<tex>D)</tex>$ Para que $<tex>P</tex>$ sea m.p. debe ser:
$<tex>\begin{array}{c} P = P^T \\ P=P^2 \end{array}</tex>$
$<tex>\begin{array}{ccccc} P & = & {\left( P_1-P_2 \right)}^2 & = & \left(P_1-P_2\right) \left(P_1-P_2\right)\\ & & & = & P_1^2 -P_1P_2 -P_2P_1 +P_2^2 \\ & & & = & P_1^2 -P_2P_1+P_2^2 \end{array}</tex>$
$<tex>\begin{array}{cccc} P_1P_2 & = & 0 \\ {\left( P_1P_2 \right) }^T & = & 0 & \\ P_2^T P_1^T & = & 0 & \\ P_2 P_1 & = & 0 & \mbox{ pues } P_1, P_2 \mbox{ son m.p.}\end{array}</tex>$
Entonces:
$<tex>\underbrace{P=P_1-P_2P_1+P_2 \wedge P_2P_1=0}_{\displaystyle P=P_1+P_2}</tex>$
$<tex>P^T=P_1^T+P_2^T=P_1+P_2=P</tex>$
$<tex>P^2={\left( P_1+P_2 \right)}^2=P_1^2 -P_1P_2 -P_2P_1 +P_2^2=P_1+P_2=P</tex>$
P es entonces matriz de proyección.
Debo hallar $<tex>x \in \mathbf{R}^3 /</tex>$
1. $<tex> \left\| Ax-b \right\| \leq \left\| Az-b \right\|</tex>$ para todo $<tex>z \in \mathbf{R}^3</tex>$ .
2. $<tex>x \in \mathrm{Fil}(A)</tex>$

De (I) se deduce que $<tex>x</tex>$ debe ser tal que la distancia de $<tex>Ax</tex>$ a $<tex>b</tex>$ sea la menor posible, esto es:
$<tex>Ax=P_{\mathrm{Col}(A)}b</tex>$
Por otro lado, de (II) tenemos que $<tex>x</tex>$ debe ser CL de las filas de A: $<tex>x=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\\\end{array}\right)</tex>$
pero como $<tex>\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)</tex>$
$<tex>x=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)</tex>$

$<tex>\mathrm{Col}(A) = gen\left\{ \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\\end{array}\right) \right\} = gen\left\{ \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{c}2\\1\\1\\\end{array}\right) \right\}</tex>$
Casualmente, $<tex>B=\left\{ \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{c}2\\1\\1\\\end{array}\right) \right\}</tex>$ es BOG de $<tex>\mathrm{Col}(A)</tex>$ , considerando el PI canónico, con lo cual, llamando $<tex>v_1=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)</tex>$ y $<tex>v_2=\left(\begin{array}{c}2\\1\\1\end{array}\right)</tex>$ :

$<tex>\begin{array}{ccccccccc} P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \frac{\displaystyle \left\langle v_1 ; b \right\rangle}{\displaystyle \left\langle v_1 ; v_1 \right\rangle}\cdot v_1 & + & \frac{\displaystyle \left\langle v_2 ; b \right\rangle}{\displaystyle \left\langle v_2 ; v_2 \right\rangle}\cdot v_2 & & & &\\P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \frac{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\ 18\\ 0\\ \end{array} \right) \right\rangle}{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\1 \\ -1\\ \end{array} \right) \right\rangle}\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right) & + & \frac{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\ 18\\ 0\\ \end{array} \right) \right\rangle}{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right) \right\rangle}\left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right) & & & &\\P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \frac{18}{2}\left( \begin{array}{c} 0\\1\\-1\\ \end{array} \right) & + & \frac{18}{6} \left( \begin{array}{c} 2\\1\\1\\ \end{array} \right) & & & &\\P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \left( \begin{array}{c} 0\\9\\-9\\ \end{array} \right) & + & \left( \begin{array}{c} 6\\3\\3\\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} 6\\12\\-6 \end{array} \right) & = & Ax \end{array}</tex>$

$<tex>Ax=P_{\mathrm{Col}(A)} b</tex>$

$<tex>\begin{array}{cccc} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \end{array} \right] & \longrightarrow & \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] & \begin{array}{c} x_2=x_3+6 \\ x_1=-2x_3+6 \end{array} \end{array}</tex>$
$<tex>x=\left( \begin{array}{c} -2\\1\\1 \end{array} \right) k + \left( \begin{array}{c} 6\\6\\0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2k+6 \\ k+6 \\ k \end{array} \right)</tex>$

y como también:

$<tex>x=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcl} \alpha + \beta & = & -2k+6 \\ \beta & = & k+6 \\ 2\alpha + \beta & = & k \\ \end{array}</tex>$

$<tex>\begin{array}{rcl} 2\alpha + k+6 & = & k \\ 2 \alpha & = & -6 \\ \alpha & = & -3 \end{array}</tex>$

Como

$<tex>\begin{array}{rcl} \alpha + \beta & = & -2k+6\\ -3+k+6 & = & -k-k+6 \\ -3 & = & -3k \\ 1 & = & k \\ & & \\ \Longrightarrow \beta & = & k+6 =7 \end{array} </tex>$

$<tex>x=\left( \begin{array}{c} -3+7\\7\\-6+7 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4\\7\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2+6\\1+6\\1 \end{array} \right)</tex>$

Punto III

a) $<tex>\mathcal{S}=\left\{ A \in \mathbf{R}^{2\times 2}:A^T=A \right\}</tex>$
id est, si $<tex>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A</tex>$ es simétrica. $<tex>T(A) = A \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] A, \ T \in \mathcal{L}\left( \mathcal{S}, \mathbf{R}^{2 \times 2} \right)</tex>$ .

Como $<tex>M</tex>$ también es simétrica, id est, $<tex>M = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] = M^T</tex>$ $<tex>MA =M^T A^T = {\left( AM \right)}^T</tex>$

Supongamos que
$<tex>A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_3 \\ a_3 & a_{22} \end{array} \right]</tex>$
$<tex>AM = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_3 \\ a_3 & a_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2a_{11}+2a_3 & 2a_{11}+a_3 \\ 2a_3+2a_{22} & 2a_3+a_{22} \end{array} \right]</tex>$
$<tex>{\left( AM \right)}^T = \left[ \begin{array}{cc} 2a_{11}+2a_3 & 2a_3+2a_{22} \\ 2a_{11}+a_3 & 2a_3+a_{22} \end{array} \right]</tex>$
$<tex>T(A) = AM + {\left( AM \right)}^T = \left[ \begin{array}{cc} 4a_{11}+4a_3 & 2a_{11}+3a_3+2a_{22} \\ 2a_{11}+3a_3+2a_{22} & 4a_3+2a_{22} \end{array} \right]</tex>$

Para $<tex>A \in \mathrm{Nu}(T)</tex>$ es: $<tex>\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] = T(A) \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ccl} 0 & = & 4a_{11} + 4a_3 \\ 0 & = & 4a_3+2a_{22} \\ 0 & = & 2a_{11}+3a_3+2a_{22}\end{array} \right.</tex>$

$<tex>\left[ \begin{array}{ccc|c} 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]</tex>$
id est, $<tex>T(A) = \mathbf{0} \iff A = \mathbf{0}</tex>$ $<tex>\Longrightarrow T</tex>$ es inyectiva
$<tex>\Longrightarrow \dim \left( \mathrm{Nu} \left( T \right) \right) = 0</tex>$
Como $<tex>\dim \left( \mathcal{S} \right) = 4-1 = 3</tex>$ (finita)
$<tex>\dim \left( \mathcal{S} \right) = 3 = \dim \left( \mathrm{Im} \left( T \right) \right) + \dim \left( \mathrm{Nu} \left( T \right) \right)</tex>$
$<tex>\dim \left( \mathcal{S} \right) = 3 = \dim \left( \mathrm{Im} \left( T \right) \right)</tex>$

y como $<tex>\mathrm{Im} \left( T \right) \subset \mathcal{S}</tex>$
$<tex>\mathcal{S} = \mathrm{Im} \left( T \right)</tex>$

b) $<tex>B</tex>$ base de $<tex>\mathcal{S}</tex>$ , $<tex>B=\left\{ v_1, v_2, v_3 \right\}</tex>$
$<tex>C</tex>$ base de $<tex>\mathbf{R}^{2 \times 2}</tex>$ , $<tex>C=\left\{ w_1, w_2, w_3 \right\}</tex>$

$<tex>{\left[ T \right]}_{BC} = \left[ \mathbf{C}_C \left( T \left( v_1 \right) \right) \quad \mathbf{C}_C \left( T \left( v_2 \right) \right) \quad \mathbf{C}_C \left( T \left( v_3 \right) \right) \right]</tex>$
Como $<tex>B</tex>$ tiene tres elementos y $<tex>C</tex>$ tiene cuatro elementos, $<tex>\mathbf{C}_C \left( T \left( v_i \right) \right) \in \mathbf{R}^4</tex>$ , y entonces $<tex>{\left[ T \right]}_{BC} \in \mathbf{R}^{4 \times 3}</tex>$

$<tex>{\left[ T \right]}_{BC} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]</tex>$ , que la última fila de $<tex>{\left[ T \right]}_{BC}</tex>$ sea $<tex>\left( 0 \ 0 \ 0 \right)</tex>$ implica que $<tex>T \left( v_1 \right), \, T \left( v_2 \right), \, T \left( v_3 \right)</tex>$ son LI con $<tex>w_4</tex>$ .

Por otro lado, si $<tex>\mathbf{c}_C \left( T \left( v_1 \right) \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\0\\0 \end{array} \right) \Longrightarrow T \left( v_1 \right) = w_1</tex>$ y así con el resto: $<tex>T \left( v_2 \right) = w_2</tex>$ y $<tex>T \left( v_3 \right) = w_3</tex>$

Elijo pues la base $<tex>B=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right\}</tex>$

$<tex>\begin{array}{cl} \left. \begin{array}{ccccccc} T \left( v_1 \right) & = & T \left( \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \right) & = & \left[ \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right] & = & w_1\\T \left( v_2 \right) & = & T \left( \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \right) & = & \left[ \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right] & = & w_2\\ T \left( v_3 \right) & = & T \left( \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right) & = & \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] & = & w_3\\ \end{array} \right\} & \mbox{son LI, lo cual es coherente pues }B\mbox{ es base y pues }\dim \left( \mathrm{Im}\left(T \right) \right) = 3 \end{array}</tex>$

Ahora propongo $<tex>w_4 \not\in \mathrm{Im}\left(T \right)</tex>$ , id est, $<tex>w_4</tex>$ no simétrico: $<tex>w_4 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]</tex>$

$<tex>B=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right\}</tex>$
$<tex>C=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \right\}</tex>$

Punto IV

a) $<tex>T(v_2+ \alpha v_3)=v_1+\alpha v_2+v_3</tex>$
$<tex>T(v_1+v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3</tex>$
$<tex>T(v_1+ \alpha v_2+v_3)=\alpha v_1+ 2v_2</tex>$

Si $<tex>\alpha = 1</tex>$ :

$<tex>T(v_1+v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3 \neq v_1+2v_2=T(v_1+v_2+v_3)</tex>$
Lo cual es claramente un absurdo pues $<tex>T</tex>$ debe asignar un solo elemento del espacio de llegada a cada elemento del espacio de partida.
Un absurdo así no podría ocurrir, por otro lado, en el caso de:

$<tex>T(v_2+ \alpha v_3)</tex>$ y $<tex>T(v_1+ \alpha v_2+v_3)</tex>$
pues $<tex>v_2+ \alpha v_3</tex>$ es LI con $<tex>v_1+ \alpha v_2+v_3</tex>$ independientemente de $<tex>\alpha</tex>$ .
$<tex>T(v_2+ \alpha v_3)</tex>$ y $<tex>T(v_1+v_2+v_3)</tex>$ pues $<tex>\left\{ v_2+ \alpha v_3, v_1+v_2+v_3 \right\}</tex>$ LI $<tex>\forall \ \alpha</tex>$ .

Por otro lado, claramente se ve que, independientemente del $<tex>\alpha</tex>$ considerado, $<tex>T</tex>$ será lineal. $<tex>T</tex>$ existe, pues, para $<tex>\alpha \in \mathbf{R}-\left\{ 1 \right\}</tex>$ .

Para que $<tex>T</tex>$ sea única es condición necesaria y suficiente que $<tex>\left\{ v_2+ \alpha v_3, v_1+v_2+v_3, v_1+ \alpha v_2+v_3 \right\}</tex>$ sea base de $<tex>V</tex>$ . Para ello los tres elementos (y por ende sus coordenadas en base $<tex>B</tex>$ ) deben ser LI.

$<tex>\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & \alpha\\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \end{array} \right| \neq 0</tex>$
$<tex>\alpha^2 - \alpha \neq 0</tex>$
$<tex>\alpha (\alpha -1) \neq 0</tex>$

$<tex>T</tex>$ es única para $<tex>\alpha \neq 0 \ \wedge \ \alpha \neq 1</tex>$

b) Para que $<tex>\mathrm{Nu}(T)\neq 0</tex>$ deben ser los generadores de $<tex>\mathrm{Im}(T)</tex>$ LD, id est,
$<tex>\left\{ v_1+\alpha v_2+v_3, v_1+2v_2+v_3, \alpha v_1+ 2v_2 \right\} \mbox{ deben ser LD}</tex>$
Ello ocurre si y sólo si
$<tex>\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\ \alpha\\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} \alpha\\ 2\\ 0 \end{array} \right) \right\}</tex>$ (sus coordenadas en base $<tex>B</tex>$ ) lo son.

Para encontrar los valores de $<tex>\alpha</tex>$ que satisfacen la susodicha condición, hallo el determinante:

$<tex>\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & \alpha\\ \alpha & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = \alpha (\alpha -2) = 0 \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \alpha = 0\\ \mbox{\'o}\\ \alpha = 2 \end{array} \right.</tex>$

Elijo $<tex>\alpha=2</tex>$ pues así garantizo la existencia y unicidad de $<tex>T</tex>$ y simultáneamente, la condición de que $<tex>\mathrm{Nu}(T)\neq 0</tex>$ .

$<tex>B_{\mathrm{Im}(T)} = \left\{ v_1+2v_2+v_3, 2v_1+ 2v_2 \right\}</tex>$

Por otro lado:
$<tex>\begin{array}{ccc} v_1+2v_2+v_3 - \left( v_1+2v_2+v_3 \right) & = & \mathbf{0} \\T \left( v_2+2v_3 \right) - T \left( v_1+v_2+v_3 \right) & = & \mathbf{0} \\T \left( -v_1+v_3 \right) & = & \mathbf{0} \end{array}</tex>$

$<tex>B_{\mathrm{Nu}(T)}=\left\{ v_1-v_3 \right\}</tex>$

Discusión

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¹⁾ Base OrtoGonal