2007)

1) a) Probar que existe único Pi en P $<tex>_{2}</tex>$ tal que:

$<tex>\parallel t+t^{2}\parallel = \parallel t-t^{2}\parallel = \parallel t+1 \parallel =4 </tex>$ ;
$<tex>(t-t^{2}; t+2)=1</tex>$ ;
$<tex>gen\{t;t^{2}\}</tex>$ $<tex>\ensuremath{\perp} gen\{1+t\}</tex>$

b) Considerado el Pi de (a) hallar elemento $<tex>S=\left\{p\in P_{2} :p(1)=p(-1)=0\right\} </tex>$ más cercano a $<tex>f=1</tex>$

2) a) Sea $<tex>P\in R^{3x3}</tex>$ una matriz de proyección tal que:

$<tex>P(\begin{array}{ccc}2 & 4 & 1)^{T}\\ \end{array}=(\begin{array}{ccc}3 & 3 & 1)^{T}\\\end{array}</tex>$ y $<tex>(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -6)^{T}\\\end{array}\in Nul(P)</tex>$

Hallar $<tex>P</tex>$ y el subespacio sobre el cual proyecta.

b) Sea $<tex>A^{T}= \begin{bmatrix}2 & 1 & 1\\1 & 0 & 2\\\end{bmatrix}</tex>$

sabiendo que ||Ax-b|| $<tex>^{2} \geq 5</tex>$ para $<tex>x \in R^{2}</tex>$ y que ||Az-b|| $<tex>^{2}=5</tex>$ si $<tex>z=\left[ 1-t\right]^{T} </tex>$

hallar los posibles valores de $<tex>b\in R^{3} </tex>$

3) a) Hallar los valores de $<tex>r\in R</tex>$ para los cuales existe una única $<tex>T\in \ell (P_{2},R^{3})</tex>$ que verifica:

$<tex>T(2+rt+t^{2} )=\left( \begin{array}{ccc}(r-1) & 0 & 1\end{array}\right)^{T} </tex>$

$<tex>T((1-r)+t+rt^{2} )=\left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & -1\end{array}\right) ^{T} </tex>$

$<tex>T(t+t^{2})=\left( \begin{array}{ccc}r & r & 1\end{array}\right)^{T} </tex>$

Hallar bases de $<tex>Nu(T)</tex>$ y de $<tex>Im(T)</tex>$ en los casos en que $<tex>T</tex>$ no es inyectiva.

b) Entre los valores de $<tex>r</tex>$ hallados en (a) encuentre aquellos para los cuales existen bases B de $<tex>P_{2}</tex>$ y C de R $<tex>^{3}</tex>$ tales que:

$<tex>\left[ T\right]_{BC}=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 &-1 & 0\\0 & 0 &0 \\\end{bmatrix}</tex>$ . (Exhiba tales bases)

4) Sea $<tex>T\in \ell (P_{2} )</tex>$ definida por: $<tex>T(p)=(1+t)\left[ (2p(t)-tp^{'}(t)+p^{''}(t)\right] </tex>$

a) Hallar los posibles valores de $<tex>r\in R</tex>$ para los cuales $<tex>(rI-T)</tex>$ no es inversible.

b) Definir $<tex>S\in \ell (R^{2} ,P_{2} )</tex>$ y $<tex>R\in \ell (P_{2} ,R^{2} )</tex>$ tales que $<tex>R\circ T\circ S(v)=v</tex>$ para todo $<tex>v\in R^{2}</tex>$

RESOLUCION:

Ejercicio 2:

$<tex>S=\{p \ \epsilon P_2 : p(1)=p(-1)=0\}</tex>$
$<tex>\Rightarrow S\subset P_2 \ \ dim(S)=1</tex>$
$<tex>p \ \epsilon \ \mathcal{P_2} \ \Rightarrow</tex>$
$<tex>\Rightarrow p(t)=a+bt+ct^2</tex>$
$<tex>\Rightarrow p(1)=a+b+c=0 \ \Rightarrow a=-b-c</tex>$
$<tex>\Rightarrow p(-1)=a-bt+c=0 \ \Rightarrow -b-\not{c}-b+\not{c}=0</tex>$
$<tex>\Rightarrow b=0</tex>$

$<tex>p(t)=-c+ct^2</tex>$
$<tex>\Rightarrow S=gen\{-1+t^2\}</tex>$

El elemento más cercano a $<tex>f=1</tex>$ es $<tex>P_S(1):</tex>$

$<tex>P_{S(1)}=\frac{(w,1)}{||w||^2}\cdot w=\frac{(-1+t^2,1)}{||-1+t^2||}\cdot (-1+t^2)</tex>$

$<tex>\Rightarrow</tex>$ Con el PI definido: $<tex>C_B(w)^t\cdot G_B \cdot C_B(1)=(-1,0,1)\cdot G_B \cdot \left(\begin{array}{l}1\\0\\0\\ \end{array}\right)=\frac{-49}{2}</tex>$

$<tex>C_B(w)^t\cdot G_B \cdot C_B(1)=(-1,0,1)\cdot G_B \cdot \left(\begin{array}{l}1\\0\\-1\\ \end{array}\right)=32</tex>$

Finalmente: $<tex>{P_{S(1)}=\frac{-49}{64}(-1+t^2)}</tex>$