Examen (Parcial) - 61.08. Álgebra - 13/12/2006 [Foros-FIUBA::Wiki]

Examen (Parcial) - 61.08. Álgebra - 13/12/2006

Catedra: Todas
Fecha: 2º Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2006
Día: 13/12/2006
Tema: 2

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Enunciado

1

(a) Probar que $<tex> (x,y) = (x_1 + x_2 - 2x_3)(y_1 + y_2 - 2y_3) + \, \alpha(x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3) </tex>$ es producto interno en $<tex> R^3 </tex>$ si y sólo si $<tex> \alpha \textgreater \,0 </tex>$

(b) Considerando el p.i. definido en (a) con $<tex> \alpha = 1 </tex>$ hallar todos los $<tex> x \, \in \, R^3 </tex>$ cuya distancia al subespacio $<tex> S = \{ x \, \in \, R^3 : x_1 + x_2 - 2x_3 = 0 \} </tex>$ sea 1.

2 (a) Hallar $<tex> P \, \in \, R^{3x3}</tex>$ , sabiendo que P es de proyección y que $<tex>(I - P) \left[ \begin{array}{rr} 6 & 6 \\ -6 & 6 \\ 0 &6 \\\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 13 \\ 0 & 4 \\ 3 & 5\\ \end{array} \right] </tex>$

(b) Sean $<tex> A \, \in R^{nxm}</tex>$ y $<tex>b \, \in \, R^n</tex>$ . Decidir, justificando la respuesta, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

(i) Si el rango(A) $<tex> < \, m </tex>$ , entonces la ecuación $<tex> Ax = b </tex>$ tiene infinitas soluciones por cuadrados mínimos.

(ii) Si $<tex> \hat{x} </tex>$ es una solución por cuadrados mínimos de la ecuación $<tex> Ax = b </tex>$ y $<tex> \parallel b \parallel = 1 /</tex>$ , entonces $<tex> \parallel A \hat{x} \parallel \, \leq 1 </tex>$

3) Sea $<tex> T \in \L \, (R^3,P_2)</tex>$ tal que, para ciertos $<tex>\alpha , \beta \in R,\; T([1 \; 1 \; 0]^t) = \beta + (\alpha - 2)t^2, \; T([0 \; 1 \; 1]^t) = \beta t + \alpha t^2, \;</tex>$ $<tex> T([0 \; 0 \; 1]^t) = 2 \beta + \alpha t^2. </tex>$

(a) Determinar para qué valores de $<tex> \alpha </tex>$ y $<tex> \beta, \, T </tex>$ no es inyectiva. Para los valores de $<tex> \alpha </tex>$ y $<tex> \beta </tex>$ hallados que cumplan la condición $<tex> \beta \neq 0 </tex>$ , hallar bases del núcleo y de la imagen de $<tex>T</tex>$ .

(b) Considerando $<tex> \alpha = 2 </tex>$ y $<tex> \beta = 1 </tex>$ , justificar la existencia de $<tex> T^{-1} </tex>$ y calcular $<tex> T^{-1}(3 + 4t + t^2) </tex>$ .

4) Considere la ecuación diferencial: $<tex> y \prime \prime \, + \, ay \prime \, + \, by = e^t \, ,\; a,b \in R. </tex>$

(a) Sabiendo que $<tex> y = e^t - e^{-t} </tex>$ es solución de la ecuación homogénea asociada, hallar $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ y exhibir una base de soluciones de tal ecuación.

(b) Considerando los valores de $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ obtenidos en (a), encuentre todas las soluciones de la ecuación no homogénea que verifican $<tex> y(0) = 1 </tex>$ y $<tex> lim_{t \rightarrow - \infty} \, y(t) = 0 </tex>$

El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.

Resolución

Discusión

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