Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A [Foros-FIUBA::Wiki]

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Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A

Cátedra: Todas
Fecha: 1era Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2006
Día: 21/10/2006

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Enunciado

1. En un espacio vectorial $<tex>V</tex>$ con base $<tex>B=\{v_1;v_2;v_3\}</tex>$ se ha definido un producto interno $<tex>(\cdot,\cdot)</tex>$ tal que para cierto subespacio $<tex>S</tex>$ se tiene que: $<tex>v_1+v_2+v_3</tex>$ es el elemento de $<tex>S</tex>$ más cercano a $<tex>2v_1-v_2+4v_3</tex>$ y que $<tex>-v_1+2v_2-3v_3</tex>$ es la proyección ortogonal de $<tex>-2v_1+3v_2-2v_3</tex>$ sobre $<tex>S^\perp</tex>$ . Hallar bases de $<tex>S</tex>$ y $<tex>S^\perp</tex>$ .
2. Sea $<tex>V</tex>$ un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno $<tex>(\cdot,\cdot)</tex>$ y sean $<tex>S_1</tex>$ y $<tex>S_2</tex>$ subespacios de $<tex>V</tex>$ tales que $<tex>S_1 \perp S_2</tex>$ . Probar que $<tex>\mathcal{P}_Sv = \mathcal{P}_{S_1}v + \mathcal{P}_{S_2}v</tex>$ para todo $<tex>v \in V</tex>$ , siendo $<tex>S=S_1+S_2</tex>$ .

1. Siendo $<tex>A \in \mathrm{R}^{3 \times 3}</tex>$ una matriz de proyección de rango 1 tal que $<tex>A[1\ 1\ -1]^T=[1\ 1\ 0]^T</tex>$ , resolver por cuadrados mínimos $<tex>Ax=b</tex>$ con $<tex>b=[1\ 1\ -1]^T</tex>$ .
2. Sea $<tex>S</tex>$ un subespacio de $<tex>\mathrm{R}^3</tex>$ de dimensión 2 y sea $<tex>A \in \mathrm{R}^{3 \times 3}</tex>$ no inversible tal que $<tex>\ker(A) \subset S^\perp</tex>$ . Determinar el rango de $<tex>A</tex>$ y probar que si $<tex>P</tex>$ es la matriz de proyección sobre $<tex>S</tex>$ entonces $<tex>AP=A</tex>$ .

Resolución

Discusión

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materias/61/08/parcial_20061021.txt · Última modificación: 2006/11/09 02:10 por santisis

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