Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 13 de Mayo de 2006

Cátedra: Incógnita
Fecha: Oportunidad X - 1° Cuatrimestre 2006
Tema: 2
Día: Sábado 13/05/2006

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Enunciado

1. 1. Sea $<tex>V=\left\{ f\colon \mathbf{R}\longrightarrow \mathbf{R}: f(x)=(a+bx)e^{-x} \right\}</tex>$ . Pruebe que $<tex>\mathrm{dim}(V)=2</tex>$ y que $<tex>(f,g)=f(0)g(0)+f(1)g(1)e^2</tex>$ es producto interno en $<tex>V</tex>$ .
  2. Dados $<tex>\mathcal{S}=\left\{ f\in V: f(0)=0\right\}</tex>$ y $<tex>W=gen\left\{e^{-x}\right\}</tex>$ , hallar todos los $<tex>g\in W</tex>$ tales que $<tex>\mathrm{d}(g,\mathcal{S})\leq 1</tex>$ .

1. 1. Sabiendo que $<tex>P=\frac{1}{6} \left( \begin{array}{cccc} 2 & 2 & -2 & 0\\ 2 & 5 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)</tex>$ es la matriz de proyección sobre cierto subespacio $<tex>\mathcal{S}</tex>$ de $<tex>\mathbf{R}^4</tex>$ , hallar las matrices de proyección sobre los subespacios $<tex>W=\mathcal{S}+gen\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array} \right) \right\}</tex>$ y $<tex>W^\perp</tex>$ .
  2. Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
    Si $<tex>A\in \mathbf{R}^{n\times m}</tex>$ , $<tex>b \in \mathbf{R}^n</tex>$ y $<tex>C \in \mathbf{R}^{n\times n}</tex>$ es inversible, entonces $<tex>\hat{x} \in \mathbf{R}^n</tex>$ es solución por cuadrados mínimos de $<tex>Ax=b</tex>$ si y sólo si $<tex>\hat{x}</tex>$ es solución por cuadrados mínimos de $<tex>CAx=Cb</tex>$ .

1. Sea $<tex>\mathcal{S}=\left\{ A\in \mathbf{R}^{2\times2} : A^T=A \right\}</tex>$ . Para $<tex>B\in\mathcal{S}</tex>$ , definimos $<tex>T\in\mathcal{L}\left(\mathcal{P}_2,\mathcal{S}\right)</tex>$ mediante $<tex>T\left(a_0+a_1t+a_2t^2\right)=a_0I+a_1B+a_2B^2</tex>$ .
  1. Probar que $<tex>T</tex>$ no es biyectiva.
  2. Considerando $<tex>B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0\end{array} \right)</tex>$ y el PI $<tex>\left\langle x,y \right\rangle=x_{11}y_{11}+x_{12}y_{12}+x_{22}y_{22}</tex>$ , hallar todos los $<tex>p\in \mathcal{P}_2</tex>$ tales que $<tex> T(p)-A\in{\mathrm{Im}(T)}^\perp</tex>$ , con $<tex>A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -2\\ -2 & 1\end{array} \right)</tex>$ .

1. Considere la ecuación diferencial $<tex>x^ny+(1+x)y=f(x), \quad x>0, \quad n\in \mathbf{N}</tex>$ .
  1. Hallar la solución general de la ecuación homogénea asociada.
  2. Considerando $<tex>n=1</tex>$ y $<tex>f(x)=e^x</tex>$ , hallar todas las soluciones que tengan límite finito cuando $<tex>x\rightarrow 0^+</tex>$ .

El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.

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